民國與西元：問題其實是「1911 有幾個因數」
題目
- (A) 7
- (B) 8 ← 正確答案
- (C) 9 ← 我選的
- (D) 10
錯在哪裡
這題的核心轉換只有一行：
a 整除 (a + 1911) ⟺ a 整除 1911 因為 a 一定整除自己，所以 a 能不能整除 a + 1911，完全取決於它能不能整除 1911。
問題瞬間變成：「1911 的正因數中，有幾個介於 1 到 111 之間？」
沒做這個轉換就硬試，很容易漏掉 13、39、49、91 這些不好想到的數， 或反過來把 147 也算進去（147 > 111，超過民國 111 年了）—— 多算一個就變成 9。
看到「A 是 B 的倍數」而 A、B 有共同項時，先把共同項消掉。
正確解法
「西元是民國的倍數」代表 a 整除 b，即 a 整除 (a + 1911)。
而 a + 1911 = a + 1911，其中 a 本身一定被 a 整除，所以： a | (a + 1911) ⟺ a | 1911 a 必須是 1911 的因數。
1911 是奇數，先試 3：各位數字和 1+9+1+1 = 12 是 3 的倍數 → 可被 3 整除。 1911 ÷ 3 = 637 637 ÷ 7 = 91 91 = 7 × 13 1911 = 3 × 7² × 13
因數個數 = (1+1) × (2+1) × (1+1) = 12 個。把它們全部列出來：
| 因數 | 1 | 3 | 7 | 13 | 21 | 39 | 49 | 91 | 147 | 273 | 637 | 1911 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ≤ 111？ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ |
（怎麼列不漏：3 的次方 0～1、7 的次方 0～2、13 的次方 0～1，全部組合共 12 個。）
不超過 111 的因數有 1、3、7、13、21、39、49、91 共 8 個 → 答案 (B)。
下一個因數 147 已經超過民國 111 年，不在範圍內。
驗算：每一年都代回去看看
| 民國 a 年 | 西元 b = a + 1911 | b ÷ a | 是整數？ |
|---|---|---|---|
| 1 | 1912 | 1912 | ✓ |
| 3 | 1914 | 638 | ✓ |
| 7 | 1918 | 274 | ✓ |
| 13 | 1924 | 148 | ✓ |
| 21 | 1932 | 92 | ✓ |
| 39 | 1950 | 50 | ✓ |
| 49 | 1960 | 40 | ✓ |
| 91 | 2002 | 22 | ✓ |
8 年全部通過驗算 ✓
要記住的觀念
- a | (a + k) ⟺ a | k。這是整除問題最好用的化簡技巧，看到含有相同項的整除條件就先消掉。
- 1911 = 3 × 7² × 13。民國轉西元的題目一定會用到，值得直接記起來。
- 因數個數 = 各質因數（次方 + 1）相乘。1911 有 2 × 3 × 2 = 12 個因數，先知道總數就能檢查有沒有列漏。
- 列因數要有系統，不要亂試。照質因數的次方組合逐一產生（1、3、7、21、49、147、13、39、91、273、637、1911），才不會漏掉 49、91 這種不直覺的數。
- 別忘了題目的範圍限制。「民國 1 年到 111 年」把 147 以上的因數全部排除，最後一定要回頭篩一次。
- 1 也算。民國 1 年時西元 1912 = 1912 × 1，確實是倍數，不要漏掉。
為什麼 a | (a + 1911) 就等於 a | 1911？
假設 a 整除 (a + 1911)，也就是 a + 1911 = a × n（n 是整數）。
移項：1911 = a × n − a = a(n − 1)，右邊是 a 的倍數 → 所以 a 整除 1911 ✓
反過來，若 a 整除 1911，設 1911 = a × m，則 a + 1911 = a + am = a(1 + m)，也是 a 的倍數 ✓
兩個方向都成立，所以兩個條件完全等價。
白話版：a 一定整除自己，所以「a 能不能整除 a + 1911」只看它能不能整除多出來的那個 1911。
類題自我檢測
1. 從民國 1 年到民國 150 年中，有多少年其西元紀年為民國紀年的整數倍數？
2. 若 n 為正整數且 n 整除 (n + 60)，則 n 最大是多少？共有幾個這樣的 n？
看解答
1. 一樣要求 a | 1911，但範圍放寬到 150 →
不超過 150 的因數變成 1、3、7、13、21、39、49、91、147 → 9 個。
（147 = 3 × 7² 這次進得來了，所以比原題多 1 個。）
2. n | (n + 60) ⟺ n | 60。60 = 2² × 3 × 5，因數個數 = 3 × 2 × 2 = 12 個，最大的 n 是 60。
（n = 60 時，60 + 60 = 120 = 60 × 2 ✓）
我的原始作答
這題差一個就對，代表方向抓對了、只是列表出了小差錯。
兩個建議：
① 先算出因數總共有幾個（1911 有 12 個），列完數一數對不對，就知道有沒有漏或多。
② 列完之後畫一條線把超過 111 的切掉，用「≤ 111」逐一打勾，
比在腦中判斷可靠得多 —— 147 這個數很容易讓人猶豫。
複習標記
看完這一頁順手標一下，紀錄會同步到總覽頁—— 標「有把握」的會被劃掉，標「有疑問」的會被標成琥珀色，可以用「只看有疑問的」單獨叫出來。 再按一次同一顆按鈕就取消。紀錄存在這台裝置的瀏覽器裡。