最小公倍數是 1001：這個三位數只能是 143
題目
- (A) 7 ← 正確答案
- (B) 8
- (C) 9
- (D) 11 ← 我選的
錯在哪裡
這題看起來像「未知數題」，其實是因數倍數題。 只要做一件事：把 1001 拆開。 1001 = 7 × 11 × 13 91 = 7 × 13 拆開之後，答案幾乎是自動跳出來的—— 能和 91 湊出 1001 的三位數，只有 143 一個， 所以 a=4、b=3，a+b = 7，答案唯一，根本沒有「可能」的空間。
看到「最小公倍數」「最大公因數」四個字，第一個動作永遠是質因數分解。 不分解就開始想，一定會卡住。
正確解法
1001 = 7 × 11 × 13 91 = 7 × 13 1001 = 7 × 11 × 13 要背起來，這是國中最常出現的「漂亮數」。
設這個三位數是 N，已知 [N , 91] = 1001。
條件① N 一定是 1001 的因數。
因為兩數的最小公倍數一定是兩數的倍數 → N | 1001。
1001 的因數只有：1、7、11、13、77、91、143、1001。
條件② N 必須「補上」91 沒有的質因數 11。
91 = 7 × 13 裡面沒有 11， 但 [N , 91] = 1001 = 7 × 11 × 13 有 11， 這個 11 只能由 N 提供 → N 必須是 11 的倍數。
在 1001 的因數中，同時滿足「三位數」「百位是 1」「是 11 的倍數」的：
| 1001 的因數 | 三位數？ | 百位是 1？ | 含質因數 11？ | 結果 |
|---|---|---|---|---|
| 1、7、11、13、77 | ✗ | — | — | 刪 |
| 91 = 7×13 | ✗ 兩位數 | — | ✗ | 刪 |
| 143 = 11×13 | ✓ | ✓ | ✓ | 就是它 |
| 1001 | ✗ 四位數 | — | ✓ | 刪 |
143 = 11 × 13 91 = 7 × 13 [143 , 91] = 7 × 11 × 13 = 1001 ✓ N = 143 → a = 4，b = 3 a + b = 4 + 3 = 7 答案 (A) 7。
要記住的觀念
- 看到最小公倍數 / 最大公因數 → 立刻質因數分解。這是唯一的入口。
- [A , B] = M 隱含兩件事： ① A 和 B 都是 M 的因數；② M 的每個質因數都要有人提供。
- 1001 = 7 × 11 × 13 一定要背。 相關的還有 111 = 3 × 37、1111 = 11 × 101、10001 = 73 × 137。
- 「百位是 1」是一個超強的篩選條件， 能把 1001 的 8 個因數瞬間縮到只剩 143 一個。題目給的每個限制都要拿來篩。
- 選項問「可能為下列哪一個」，不代表答案有很多個。 常常算出來只有唯一解，這種問法只是不想洩漏答案是唯一的。
- 找到答案一定要回代驗算：[143 , 91] 真的等於 1001 嗎？ 驗一次只要 5 秒，卻能保證這 4 分不會飛掉。
怎麼快速判斷 143 是 11 的倍數？
11 的倍數判別法：奇數位數字和 − 偶數位數字和，是 11 的倍數（含 0）。
143 → (1 + 3) − 4 = 0 → 是 11 的倍數 ✓
再練幾個：
・209 → (2+9) − 0 = 11 ✓ 是 11 的倍數（209 = 11 × 19）
・132 → (1+2) − 3 = 0 ✓（132 = 11 × 12）
・1001 → (1+0) − (0+1) = 0 ✓
順帶一提，91 常被誤以為是質數，其實 91 = 7 × 13。
考試很愛用這個數字設陷阱，一定要記住。
類題自我檢測
1. 有一個兩位數與 77 的最小公倍數為 1001，求這個兩位數。
2. 有一個三位數 2ab（百位是 2）與 15 的最小公倍數為 1050，求 a + b。
看解答
1. 1001 = 7 × 11 × 13，77 = 7 × 11（缺 13）→ 該數必含 13。
1001 的因數中是兩位數且含 13 的：13、91（=7×13）。
驗算：[13 , 77] = 7 × 11 × 13 = 1001 ✓；[91 , 77] = 7 × 11 × 13 = 1001 ✓
兩個都對：13 或 91。（這題答案不唯一，正好說明「一定要驗算每個候選」。）
2. 1050 = 2 × 3 × 5² × 7，15 = 3 × 5（缺 2、5、7）→ 該數必含 2 × 5 × 7 = 70 的因數組合。
1050 的三位數因數中百位是 2 的：210（= 2×3×5×7）。
驗算 [210 , 15] = 210 ✗（不等於 1050）→ 刪。
再找：350（百位 3，✗）、175（✗）…… 百位為 2 的只有 210，
但驗算不過 → 此題無解。
這正是驗算的價值：符合「因數」不代表最小公倍數就對，一定要真的算一次。
我的原始作答
草稿上寫了 1001、還做了 1001 ÷ 99 之類的嘗試，
代表你有意識到要從 1001 下手，方向是對的。
斷點在於沒有把 1001 拆成 7 × 11 × 13，而是用除法一個一個試，
試不出來就只好猜。
正確的起手式（背下來）：
① 兩個數都做質因數分解
② 比對「最小公倍數裡有、但已知數沒有」的質因數 → 那些必須由未知數提供
③ 列出所有候選，用題目的其他條件（幾位數、百位是幾）刪到剩一個
④ 回代驗算
這四步是所有最小公倍數題目的通用流程，練熟之後這類題就不會再錯。
複習標記
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