卡片利潤：多的 700 元就是「那 0.2 倍」
題目
阿妮、小安兩人各自請此印刷公司設計一款教師節卡片並印刷。 已知阿妮印了 a 張卡片，且將卡片以每張 18 元的價格販售； 而小安印了 b 張卡片，且將卡片以每張 15 元的價格販售。 若利潤等於收入扣掉成本，且成本只考慮設計費與印刷費，兩人皆將卡片全部販售完畢， 發現阿妮的利潤比小安多 700 元，且恰為小安的 1.2 倍，則 b = ？
- (A) 450 ← 正確答案
- (B) 560
- (C) 600 ← 我選的
- (D) 780
錯在哪裡
阿妮是小安的 1.2 倍 → 阿妮比小安多了 0.2 倍。
而題目又說「多 700 元」，所以 小安的利潤 × 0.2 = 700 小安的利潤 = 700 ÷ 0.2 = 3500（元） 一行就把小安的利潤算出來了，接下來只要解一個一元一次方程式。
另一個常見的失誤：把「1.2 倍」套在「收入」而不是「利潤」上。
題目講得很明確：「阿妮的利潤比小安多 700 元，且恰為小安（的利潤）的 1.2 倍」， 兩個條件都是在講利潤，不是收入，也不是印的張數。 設計費 1000 元一定要先扣掉，扣了以後才叫利潤。
正確解法
利潤 = 收入 − 成本 = 收入 − (設計費 + 印刷費) 阿妮：印 a 張、每張賣 18 元 18a − (1000 + 5a) = 13a − 1000 小安：印 b 張、每張賣 15 元 15b − (1000 + 5b) = 10b − 1000 注意設計費 1000 是「每款」，兩人各設計一款，所以各扣一次 1000。
「阿妮 = 小安 × 1.2」且「阿妮 = 小安 + 700」，兩式相減： 1.2 × 小安 − 1 × 小安 = 700 0.2 × 小安 = 700 小安的利潤 = 3500（元）
10b − 1000 = 3500 10b = 4500 b = 450 答案 (A) 450。
小安利潤 = 10 × 450 − 1000 = 3500 ✓
阿妮利潤 = 3500 + 700 = 4200，且 4200 ÷ 3500 = 1.2 ✓
13a − 1000 = 4200 → 13a = 5200 → a = 400 a = 400 是正整數，合理 ✓
四個選項全部驗一次（選擇題最穩的做法）
| b | 小安利潤 10b − 1000 | 阿妮利潤 （＋700） | 倍數 阿妮 ÷ 小安 | a 是整數嗎 | 結果 |
|---|---|---|---|---|---|
| (A) 450 | 3500 | 4200 | 1.2 ✓ | a = 400 ✓ | ✓ |
| (B) 560 | 4600 | 5300 | 1.152 ✗ | a ≈ 484.6 ✗ | ✗ |
| (C) 600 | 5000 | 5700 | 1.14 ✗ | a ≈ 515.4 ✗ | ✗ |
| (D) 780 | 6800 | 7500 | 約 1.103 ✗ | a ≈ 653.8 ✗ | ✗ |
注意最右邊那一欄：只有 (A) 能讓 a 變成整數。
印卡片的張數不可能是 484.6 張，所以就算沒算倍數，光用「a 必須是整數」也能挑出答案。
要記住的觀念
- 「A 是 B 的 k 倍」＋「A 比 B 多 N」＝ B × (k − 1) = N。 這個轉換能把兩個條件併成一行，是本題最省力的做法。 例：1.2 倍 → 多 0.2 倍；1.5 倍 → 多 0.5 倍；2 倍 → 多 1 倍（等於 B 本身）。
- 利潤 = 收入 − 成本。 成本要把固定成本（設計費）和變動成本（每張印刷費）都算進去。
- 先合併同類項再代數字： 18a − 5a − 1000 = 13a − 1000。13 和 10 這兩個「每張淨賺」是本題的靈魂。 （阿妮每張淨賺 18−5 = 13 元、小安每張淨賺 15−5 = 10 元。）
- 「每款 1000 元」→ 兩人各一款，各扣 1000，不是兩人合扣 1000，也不是每張都扣。
- 選擇題可以反推：把四個 b 代進去算利潤與倍數，一分鐘就能確定答案。
- 張數、人數、桶數必須是整數—— 這個隱藏條件常常就是唯一的判斷依據，別忘了用。
如果硬解聯立會怎麼樣？（比較兩種做法）
設阿妮利潤 P = 13a − 1000，小安利潤 Q = 10b − 1000。
P = Q + 700 ……①
P = 1.2Q ……②
①＝② → Q + 700 = 1.2Q → 0.2Q = 700 → Q = 3500
結果完全一樣，但重點是：先用 P、Q 代表「利潤」，不要一開始就把 a、b 全部塞進去。
如果一開始就寫成
13a − 1000 = 10b − 1000 + 700
13a − 1000 = 1.2(10b − 1000)
也能解，但式子長、括號多，展開時很容易把 1.2 × (−1000) = −1200 算錯成 −1000。
先把複雜的部分用一個字母代掉，是解應用題最重要的減負技巧。
類題自我檢測
1. 若改成「阿妮的利潤比小安多 1400 元，且恰為小安的 1.5 倍」，則 b = ？
2. 承本題（b = 450、a = 400），若兩人想讓利潤相同，小安應該印幾張？
看解答
1. 1.5 倍 → 多 0.5 倍：0.5 × 小安 = 1400 → 小安利潤 = 2800
10b − 1000 = 2800 → 10b = 3800 → b = 380
（順帶：阿妮利潤 = 4200 → 13a = 5200 → a = 400，仍是整數 ✓）
2. 阿妮利潤 = 4200，要小安也是 4200：
10b − 1000 = 4200 → b = 520（張）
比原來的 450 張多印 70 張。
合理性檢查：小安每張只淨賺 10 元（比阿妮的 13 元少），
所以要追上阿妮，一定得印更多張 ✓
我的原始作答
草稿上寫著 18a − 5a − 1000 = 15b − 5b − 1000 + 700，整理成 13a = 10b + 700——
這一步完全正確，你把「利潤 = 收入 − 設計費 − 印刷費」建得很好。
接著寫 13a = 10b × 6/5 = 12b，問題就出在這裡：
1.2 倍是對「利潤」講的，不是對「13a」講的。
13a 還沒扣掉 1000 元設計費，不是利潤。
正確應該是
13a − 1000 = 1.2 × (10b − 1000)
右邊的 1000 也要一起乘 1.2，這是最容易漏的地方。
建議的防錯寫法：先把利潤各自命名。
令 P = 13a − 1000（阿妮利潤）、Q = 10b − 1000（小安利潤）
條件寫成 P = Q + 700、P = 1.2Q
用 P、Q 寫條件，就不可能把「還沒扣成本的收入」誤當成利潤，
而且式子短、不會漏乘括號裡的常數項。
這題你的建模能力已經到位，補上這個「先命名再列條件」的習慣就很穩了。
複習標記
看完這一頁順手標一下，紀錄會同步到總覽頁—— 標「有把握」的會被劃掉，標「有疑問」的會被標成琥珀色，可以用「只看有疑問的」單獨叫出來。 再按一次同一顆按鈕就取消。紀錄存在這台裝置的瀏覽器裡。