門票級距計價：合併買票會跳到更便宜的那一格
題目
| 購票人數(人) | 1～30 | 31～60 | 61 以上 |
|---|---|---|---|
| 每人票價(元) | 600 | 550 | 500 |
(1) 甲、乙兩班的學生共有多少人？
(2) 承(1)，已知甲班的學生比乙班的學生少，請問甲、乙兩班的學生各有多少人？
錯在哪裡
卡點 1（第 1 小題）：不知道合併後該用 600、550 還是 500。
解法是試除法：34500 ÷ 500 = 69、34500 ÷ 550 ≈ 62.7、34500 ÷ 600 = 57.5。
三個結果只有「69 人搭配 500 元」是自洽的—— 因為 69 確實落在「61 以上」這一格 ✓。
另外兩個都矛盾：62.7 不是整數；57.5 也不是整數，而且 57 人根本不能用 600 元那格以外的價格。
卡點 2（第 2 小題）：兩班分開買，可能落在不同的級距。
69 人拆成兩班，一定是「一班 30 人以下、另一班 31～60」或「兩班都在 31～60」。 如果兩班都是 31～60（550 元），總價會是 69 × 550 = 37950， 和題目的 39350 不合，所以必然是「一班 600 元、一班 550 元」。
沒有先做這個判斷就列式，方程式會列錯。
正確解法
第 (1) 小題：合併購票 34500 元 → 共幾人？
| 假設票價 | 34500 ÷ 票價 | 算出人數 | 該人數真的適用這個票價嗎？ |
|---|---|---|---|
| 600 元（1～30 人） | 34500 ÷ 600 | 57.5 | ✗ 不是整數，且 57 > 30 矛盾 |
| 550 元（31～60 人） | 34500 ÷ 550 | 約 62.7 | ✗ 不是整數，且 62 > 60 矛盾 |
| 500 元（61 人以上） | 34500 ÷ 500 | 69 | ✓ 69 ≥ 61，成立 |
答：甲、乙兩班共 69 人。
第 (2) 小題：分開購票 39350 元 → 各幾人？
69 人分成兩班且甲班比較少 → 甲班 ≤ 34 人、乙班 ≥ 35 人。
先試「兩班都是 550 元」： 69 × 550 = 37950 ≠ 39350 不合（比實際少了 1400 元）， 代表有一班的票價比 550 貴 → 甲班一定落在 1～30 人（600 元）那格。
而乙班 = 69 − 甲班 ≥ 39 人 → 落在 31～60 人（550 元）那格 ✓
設甲班有 a 人，則乙班有 (69 − a) 人 600a + 550(69 − a) = 39350
600a + 37950 − 550a = 39350 50a = 39350 − 37950 = 1400 a = 28 甲班 28 人，乙班 69 − 28 = 41 人。
甲班 28 人 → 落在 1～30 → 適用 600 元 ✓
乙班 41 人 → 落在 31～60 → 適用 550 元 ✓
甲班 28 < 乙班 41，符合「甲班比乙班少」✓ 驗算：600 × 28 + 550 × 41 = 16800 + 22550 = 39350 ✓ 答：甲班 28 人、乙班 41 人。
為什麼合併買比較划算？
| 方式 | 計算 | 總價 |
|---|---|---|
| 分開買 | 600 × 28 + 550 × 41 | 39350 元 |
| 合併買 | 500 × 69 | 34500 元 |
| 省下 | 4850 元 | |
合併之後人數衝到 61 以上，每個人都掉到最便宜的 500 元那一格， 所以省下的錢遠比想像中多。這就是「團體票級距」的實際意義。
要記住的觀念
- 級距（分段）計價題的萬用流程：假設 → 計算 → 檢查是否落在該區間。 算出來的人數若不在假設的區間內，這個假設就要丟掉。
- 人數一定是整數——除不盡就代表假設錯了，這是最快的篩選工具。
- 本題的票價是「整團同一個價」，不是分段累計。 69 人全部都用 500 元，不是前 30 人 600、接下來 30 人 550…… （水費電費才是分段累計，這種團體票是「整團看總人數決定單價」。） 讀表時一定要先確認是哪一種。
- 「甲班比乙班少」不只是敘述，它是解題條件， 用來確定甲班落在便宜票價那一格、以及最後答案不能反過來寫。
- 先算「如果都用同一個價會是多少」，用差額判斷方向。 本題 69 × 550 = 37950 比 39350 少 1400，就知道有人是用 600 元買的。
- 非選題一定要把「檢查區間」寫出來： 「28 人落在 1～30，適用 600 元 ✓」這句話本身就是得分點。
另一種列式：用「省下的差價」想
如果 69 人全部都用 550 元 → 37950 元。
實際卻要 39350 元，多了
39350 − 37950 = 1400（元）
這 1400 元是從哪裡來的？來自甲班每人多付的 600 − 550 = 50 元：
甲班人數 = 1400 ÷ 50 = 28（人）
一行就算出來了，完全不用設未知數。
這種「先假設全部同價，再用差額除以單價差」的技巧，
在雞兔同籠、兩種票價、兩種商品的題目都能用，速度非常快。
類題自我檢測
1. 若兩班合併購票總價為 31000 元，兩班共幾人？
2. 承本題（共 69 人），若分開購票總價為 38500 元，甲、乙兩班各幾人？
3. 若甲班 25 人、乙班 44 人，分開買和合併買各要多少錢？差多少？
看解答
1. 31000 ÷ 500 = 62 人 ✓（62 ≥ 61 成立）
驗證另外兩格：31000 ÷ 550 ≈ 56.4 ✗ 不整數；31000 ÷ 600 ≈ 51.7 ✗ 不整數。答：62 人。
2. 全部用 550：69 × 550 = 37950，多出 38500 − 37950 = 550 元
甲班人數 = 550 ÷ 50 = 11（人）
乙班 = 69 − 11 = 58 人。檢查：11 人 → 600 元 ✓；58 人 → 550 元 ✓
驗算 600×11 + 550×58 = 6600 + 31900 = 38500 ✓
3. 分開：600 × 25 + 550 × 44 = 15000 + 24200 = 39200 元
合併：500 × 69 = 34500 元，省 4700 元。
我的原始作答
卷面上寫了 69 和 甲 28、乙 41，兩小題的答案都正確。
這題的重點不在答案，而在「過程有沒有寫到得分點」——非選題最容易在這裡漏分。
完整作答應包含這四個部分：
① 試除的過程：34500 ÷ 600 = 57.5（不合）、÷ 550 ≈ 62.7（不合）、÷ 500 = 69（✓）
② 說明為什麼 69 成立：因為 69 ≥ 61，符合「61 以上、每人 500 元」
③ 第 2 小題要先判斷級距：若兩班都用 550 元，總價僅 37950，
少於 39350，故甲班人數必在 30 人以下（每人 600 元）
④ 列式、解方程、回頭檢查：28 人在 1～30 ✓、41 人在 31～60 ✓
「不合的假設也要寫出來」是分段計價題的重要得分技巧。
寫出「600 元那格算出 57.5 人，不是整數也不在 1～30，故不合」，
閱卷老師才看得出你是推論出來的，而不是猜的。
複習標記
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