數倍數個數：頭尾都要算，所以最後要「＋1」
題目
- (A) 101 個
- (B) 100 個 ← 正確答案
- (C) 99 個 ← 我選的
- (D) 98 個
錯在哪裡
你的草稿寫得很清楚：
500 ÷ 3 = 166 餘 2 → 500 以下有 166 個 3 的倍數
200 ÷ 3 = 66 餘 2 → 200 以下有 66 個 3 的倍數
這兩步都對。但相減的意義要想清楚：
166 − 66 = 100 這裡減掉的應該是 66（200 以下），不是 67。
如果你是用「第 67 個是 201、第 166 個是 498」的想法，那就要用編號相減再加一： 166 − 67 + 1 = 100 兩種算法都會得到 100，錯就錯在「用編號相減卻忘了 ＋1」。
這是所謂的「植樹問題」： 從第 67 棵樹數到第 166 棵樹，中間的間隔是 99 個， 但樹的數量是 100 棵——頭尾兩端都要算進去。
正確解法
解法一：找出頭尾，用公式（推薦）
200 ÷ 3 = 66 餘 2 → 200 本身不是 3 的倍數。 3 × 67 = 201 ← 第一個
500 ÷ 3 = 166 餘 2 → 500 本身也不是 3 的倍數。 3 × 166 = 498 ← 最後一個
201、204、207、…、498，公差 3： 個數 = (末項 − 首項) ÷ 公差 + 1 = (498 − 201) ÷ 3 + 1 = 297 ÷ 3 + 1 = 99 + 1 = 100 答案 (B) 100 個。
那個 99 就是你算到的數字——它是「間隔數」，不是「個數」。
解法二：用倍數編號相減（更快）
從第 67 個數到第 166 個，共有： 166 − 67 + 1 = 100（個） 「編號相減要加一」——這就是本題唯一的關卡。
解法三：不用加一的寫法（最不容易錯）
用小數字檢查這個規律
從 1 到 10 之間有幾個 3 的倍數？直接數：3、6、9 → 3 個。
| 算法 | 計算 | 結果 | 對嗎 |
|---|---|---|---|
| 編號相減（錯） | 第 3 個 − 第 1 個 = 3 − 1 | 2 | ✗ 少一個 |
| 編號相減 ＋1 | 3 − 1 + 1 | 3 | ✓ |
| 起點減 1 法 | 10÷3 = 3、0÷3 = 0 → 3 − 0 | 3 | ✓ |
不確定要不要加一的時候，就用這種一眼能數完的小數字試一次， 五秒鐘就能確認公式有沒有記錯。
要記住的觀念
- 個數 = (末項 − 首項) ÷ 公差 ＋ 1。 那個「＋1」是頭尾都要算，忘了它就是本題的失分點。
- 「間隔數」和「個數」差 1。 種 10 棵樹有 9 個間隔；從第 5 頁看到第 10 頁看了 6 頁（不是 5 頁）。
- 最保險的寫法：a 到 b 之間 k 的倍數個數 = ⌊b ÷ k⌋ − ⌊(a−1) ÷ k⌋。 （⌊ ⌋ 表示取整數部分。）這個公式不用加一，最不容易錯。
- 先確認端點本身算不算。 本題 200 和 500 都不是 3 的倍數，所以「含不含端點」不影響答案； 但若題目是「200 到 501」，501 = 3 × 167 就要算進去，答案會變 101。
- 選項出現 98、99、100、101 四個連續數 → 百分之百在考「加一」。 看到這種選項排列，就要特別小心端點。
- 用小數字驗證公式（例如 1 到 10 有幾個 3 的倍數）， 比死背公式可靠得多。
相關題型：不同倍數怎麼算
① 200～500 中，5 的倍數有幾個？
500 ÷ 5 = 100，199 ÷ 5 = 39（取整）→ 100 − 39 = 61 個
（首項 200 = 5×40，末項 500 = 5×100 → 100 − 40 + 1 = 61 ✓
注意這裡端點 200 和 500 都要算進去！）
② 200～500 中，3 和 5 的公倍數（即 15 的倍數）有幾個？
500 ÷ 15 = 33（取整），199 ÷ 15 = 13（取整）→ 33 − 13 = 20 個
③ 200～500 中，3 或 5 的倍數有幾個？
用排容原理：100 + 61 − 20 = 141 個
（3 的倍數 ＋ 5 的倍數 − 重複算到的 15 的倍數）
類題自我檢測
1. 從 100 到 300 之間，7 的倍數有幾個？
2. 從 1 到 1000 之間，4 的倍數但不是 6 的倍數的有幾個？
3. 一本書從第 45 頁看到第 128 頁，共看了幾頁？
看解答
1. 300 ÷ 7 = 42（取整）、99 ÷ 7 = 14（取整）→ 42 − 14 = 28 個
（驗算：首項 7×15 = 105、末項 7×42 = 294 → 42 − 15 + 1 = 28 ✓）
2. 4 的倍數：1000 ÷ 4 = 250 個
同時是 4 和 6 的倍數 = 12 的倍數：1000 ÷ 12 = 83 個（取整）
答：250 − 83 = 167 個
3. 128 − 45 + 1 = 84（頁）
又是「＋1」！如果寫成 128 − 45 = 83 就少算了第 45 頁那一頁。
這種「從第幾看到第幾」的題目和倍數個數是同一個原理。
我的原始作答
草稿上有兩個漂亮的直式除法：3 ) 201 → 67 和 3 ) 498 → 166，
旁邊還寫了 3 × 67 = 201。
你完全找對了頭尾兩個數（201 與 498），也正確算出它們是第 67 個和第 166 個——
這題最難的部分你都做完了。
最後寫下 166 − 67 = 99，就差那個 ＋1。
建議：把「＋1」直接寫進公式，不要事後才想。
在草稿上養成寫完整式子的習慣：
166 − 67 + 1 = 100
而不是先算 166 − 67，再回頭想「要不要加一」。
「先寫完整式子，再算數字」能避免掉大部分的漏步驟。
另外強烈推薦改用「起點減 1 法」：
500 ÷ 3 = 166 199 ÷ 3 = 66 166 − 66 = 100
這個寫法根本不需要加一，從源頭消滅這個錯誤，
以後遇到倍數個數題可以直接用。
複習標記
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