混豆問題：花一樣的錢，單價越貴買到越少
題目
- (A) 60
- (B) 120 ← 正確答案
- (C) 180 ← 我選的
- (D) 240
錯在哪裡
你的草稿只寫了 2k : 5k 就停住了 —— 設單價的第一步是對的， 但接下來必須把「買了多少錢」換成「買到多少公斤」：
重量 = 花的錢 ÷ 單價 因為賣出時算的是每公斤 300 元，不先換成重量就永遠接不上後面的收入。
另外兩個常見的錯誤想法：
① 把 4 萬 : 2 萬 = 2 : 1 當成重量比 —— 錯！錢一樣多時，貴的買到的反而少。
② 把 300 元當成兩種單價的平均（2k + 5k = 600 → k ≈ 85.7）—— 錯！ 300 是售價，中間還藏著 6 萬元的利潤，而且混合單價要用重量加權，不是直接平均。
正確解法
單價比 2 : 5，設
低價劣豆 = 2k 元/公斤 阿拉比卡豆 = 5k 元/公斤
劣豆花 40000 元 → 重量 = 40000 ÷ 2k = 20000/k 公斤 阿拉比卡花 20000 元 → 重量 = 20000 ÷ 5k = 4000/k 公斤 混合後總重 = 20000/k + 4000/k = 24000/k 公斤
每公斤賣 300 元、全數賣出： 收入 = 300 × 24000/k = 7200000/k 元
成本 = 40000 + 20000 = 60000 元，獲利 6 萬 = 60000 元
收入 = 成本 + 獲利 = 60000 + 60000 = 120000 元
7200000 / k = 120000 → k = 7200000 ÷ 120000 = 60 所以低價劣豆單價 = 2k = 120 元/公斤 → 答案 (B)。
完整驗算
| 單價 | 花的錢 | 買到的重量 | |
|---|---|---|---|
| 低價劣豆 | 120 元/kg | 40000 元 | 40000 ÷ 120 ≈ 333.3 公斤 |
| 阿拉比卡豆 | 300 元/kg | 20000 元 | 20000 ÷ 300 ≈ 66.7 公斤 |
| 混合後 | 賣 300 元/kg | 成本 60000 元 | 合計 400 公斤 |
收入 = 300 × 400 = 120000 元；獲利 = 120000 − 60000 = 60000 元 = 6 萬 ✓
單價比檢查：120 : 300 = 2 : 5 ✓ 兩個條件全部對上。
有趣的是：阿拉比卡豆的成本剛好也是 300 元/公斤，和售價一樣 —— 廠商賺的錢完全來自那些混進去的便宜劣豆，這正是新聞裡說的「以此方式牟利」。
要記住的觀念
- 「錢 ÷ 單價 = 重量」是這類題的樞紐。題目給錢、售價給每公斤，中間一定要靠重量接起來。
- 花固定金額時，重量與單價成反比。一樣花 4 萬元，單價越貴買到越少。所以 4 萬 : 2 萬 不是重量比。
- 看到比就設 2k、5k。設一個未知數 k 就能表示兩個量，比設兩個未知數再列比例式快得多。
- 收入 = 成本 + 獲利。本題兩邊算收入再讓它相等，是解題的關鍵接點。別把「獲利 6 萬」直接當成收入。
- 混合後的平均單價要用「重量」加權，不是把兩個單價平均。本題劣豆有 333 公斤、好豆只有 67 公斤， 平均單價 60000 ÷ 400 = 150 元/公斤，離兩者的算術平均 210 差很遠。
另一種更快的解法（先求總重）
收入 = 成本 + 獲利 = 60000 + 60000 = 120000 元，而售價是每公斤 300 元 →
總重 = 120000 ÷ 300 = 400 公斤
再設劣豆單價 2k、阿拉比卡 5k：
40000/(2k) + 20000/(5k) = 400 → 24000/k = 400 → k = 60
劣豆單價 = 2k = 120。
先從「收入 ÷ 售價」算出總重 400 公斤，數字會小很多，計算更不容易出錯。
類題自我檢測
甲、乙兩種米的單價比為 3 : 4，某商家買了 6000 元的甲米與 4000 元的乙米， 混合後以每公斤 50 元賣出，全部賣完獲利 2500 元。求甲米每公斤的單價。
看解答
設甲 = 3k、乙 = 4k 元/公斤。
收入 = 成本 + 獲利 = 10000 + 2500 = 12500 元 → 總重 = 12500 ÷ 50 = 250 公斤。
6000/(3k) + 4000/(4k) = 250 → 2000/k + 1000/k = 250 → 3000/k = 250 → k = 12
甲米單價 = 3k = 36 元/公斤。
驗算：甲 6000 ÷ 36 ≈ 166.7 公斤、乙 4000 ÷ 48 ≈ 83.3 公斤，合計 250 公斤 ✓
我的原始作答
草稿上只有「2k : 5k」四個字 —— 第一步設得完全正確，但卡在不知道下一步要做什麼。
這類「買賣＋比例」的題目有固定的三段式流程，把它背下來：
① 用比設單價（2k、5k）→ ② 錢 ÷ 單價 = 重量 → ③ 收入 = 成本 + 獲利，列式解 k。
下次寫到一半卡住時，先問自己：「題目給的『元』和『每公斤』之間，
我有沒有算出重量？」通常缺的就是那一步。
複習標記
看完這一頁順手標一下，紀錄會同步到總覽頁—— 標「有把握」的會被劃掉，標「有疑問」的會被標成琥珀色，可以用「只看有疑問的」單獨叫出來。 再按一次同一顆按鈕就取消。紀錄存在這台裝置的瀏覽器裡。