數學第2冊 20260713-01 錯題解析

題目

右圖為小明作答課本上隨堂練習的結果，若小明正確回答了此題後，但部分資料因汙損而無法辨識，則關於圖中 a、b、c 的大小關係，何者正確？

	第一欄	第二欄
不等式	ab < ac	ab > bc
兩邊同乘 a	a²b ▨ a²c	a²b < abc
兩邊同乘 b	ab² < abc	ab² ▨ b²c

（▨ 為汙損處）

(A) a > b > c
(B) b > a > c　←　正確答案
(C) a > c > b
(D) c > b > a　←　我選的

我的答案：(D) c > b > a沒先判斷 a、b 的正負就開始比大小

正確答案：(B) b > a > ca < 0 < b，且 c < a

錯在哪裡

關鍵錯誤：直接把不等式當成「正數」在約分。
看到 ab < ac 就想「兩邊除以 a → b < c」，看到 ab > bc 就想「除以 b → a > c」，這兩個結論合起來是 a > c > b，但四個選項裡的正確答案不是它 —— 因為 a 其實是負數。

不等式兩邊同乘（或同除）一個負數，不等號必須翻轉。
而這張表格已經把答案偷偷告訴你了：只要比較「原不等式」和「同乘之後」的方向有沒有改變，就能反推乘的那個數是正是負。

正確的順序是：① 先判斷 a、b 的正負 → ② 再約分比大小。 順序顛倒就一定錯。

正確解法

Step 1　由第二欄判斷 a 的正負
原不等式：ab > bc 兩邊同乘 a 之後：a²b < abc 不等號從 > 變成 < —— 方向翻轉了！
不等式只有在乘上負數時才會翻轉，所以 a < 0

Step 2　由第一欄判斷 b 的正負
原不等式：ab < ac 兩邊同乘 b 之後：ab² < abc 不等號維持 <，沒有翻轉 → 乘的是正數： b > 0

（若 b = 0，兩邊都會變成 0 而相等，不會是 <，所以 b 確實是正的。）

Step 3　用 a < 0 化簡第一欄
ab < ac 兩邊同除以 a（負數）→ 不等號翻轉： b > c

Step 4　用 b > 0 化簡第二欄
ab > bc 兩邊同除以 b（正數）→ 不等號不變： a > c

Step 5　把所有資訊合起來

來源	結論
Step 1	a < 0
Step 2	b > 0
Step 3	b > c
Step 4	a > c

由 a < 0 < b 得 b > a；再加上 a > c： b > a > c 答案 (B)。

找一組實際的數字驗算

取 a = −1、b = 2、c = −3（滿足 b > a > c，且 a < 0 < b）：

式子	代入計算	結果	與表格相符？
ab 與 ac	(−1)(2) = −2　vs　(−1)(−3) = 3	−2 < 3	✓ <
ab 與 bc	−2　vs　(2)(−3) = −6	−2 > −6	✓ >
a²b 與 abc	(1)(2) = 2　vs　(−1)(2)(−3) = 6	2 < 6	✓ <
ab² 與 abc	(−1)(4) = −4　vs　6	−4 < 6	✓ <

四個已知的格子全部吻合 ✓ 順便可以把汙損處補回來： a²b < a²c（2 < 3）、ab² < b²c？實際是 −4 vs (4)(−3) = −12 → ab² > b²c。

要記住的觀念

不等式兩邊同乘／同除「正數」→ 方向不變；「負數」→ 方向翻轉。這是本題唯一用到的性質。
反過來用：方向翻轉 ⟹ 乘的是負數。本題就是靠這個從表格反推出 a < 0，這是最關鍵的一步。
看到 ab < ac 不要急著約掉 a。必須先知道 a 的正負，否則約分就是在賭。
a² 恆為正（a ≠ 0）。所以「兩邊同乘 a」和「同乘 a²」的效果完全不同，別搞混。
結論不確定時，代一組具體數字檢查。像上面代 a = −1、b = 2、c = −3，四個格子全部驗過就萬無一失。
汙損／缺資料的題目，反而是要你「從結果反推條件」。看到這種題型，先問「這格為什麼會變成這樣？」

為什麼乘負數要翻轉？

想像數線上的兩個點：2 < 5。
同乘 −1 之後變成 −2 和 −5。在數線上，−5 在 −2 的左邊，所以 −2 > −5 —— 方向反過來了。

直覺理解：乘負數相當於把整條數線「翻轉」過來，原本靠右（比較大）的點會跑到左邊（變比較小），所以大小關係整個顛倒。
乘正數只是把數線「拉長或縮短」，左右順序不變，所以不等號不動。

類題自我檢測

已知 xy < xz，且兩邊同乘 x 後變成 x²y < x²z，兩邊同乘 y 後變成 xy² > xyz。
請判斷 x、y 的正負，並比較 y 與 z 的大小。

看解答

・同乘 x 後方向不變（< → <）→ x > 0
・同乘 y 後方向翻轉（< → >）→ y < 0
・由 xy < xz 兩邊除以 x（正數，不翻轉）→ y < z

驗算：取 x = 2、y = −1、z = 3 → xy = −2、xz = 6 → −2 < 6 ✓； x²y = −4、x²z = 12 → −4 < 12 ✓； xy² = 2、xyz = −6 → 2 > −6 ✓ 全部符合。

我的原始作答

這題沒有留下計算，多半是看到滿滿的 a、b、c 就直接從選項猜。但其實表格本身就是完整的線索，只要照著「比對前後方向」做，兩步就能定出 a、b 的正負。
下次遇到不等式題，固定先做這件事：在 a、b、c 旁邊各寫上「+」「−」或「?」。 正負確定之後，剩下的約分才是安全的。
另外，不確定時就代一組數字進去試 —— 這種題目代 a = −1、b = 2、c = −3 一分鐘就能把四個選項驗完。

複習標記

看完這一頁順手標一下，紀錄會同步到總覽頁—— 標「有把握」的會被劃掉，標「有疑問」的會被標成琥珀色，可以用「只看有疑問的」單獨叫出來。再按一次同一顆按鈕就取消。紀錄存在這台裝置的瀏覽器裡。

還沒標記