器材組分配：「恰不夠 1 組」代表需要 x + 1 組
題目
假設 6 個學生使用一個器材組，則有一個器材組只有 4 個學生使用；
若 5 個學生使用一個器材組，則恰不夠 1 組。
假設器材組有 x 個，學生有 y 人，則依題意可列出二元一次聯立方程式為何？
- (A) y = 5x − 1 ； y = 6x − 4
- (B) y = 5x + 1 ； y = 6x + 4
- (C) y = 5(x − 1) ； y = 6(x − 1) + 4
- (D) y = 5(x + 1) ； y = 6(x − 1) + 4 ← 正確答案
錯在哪裡
第一句：「6 個學生使用一個器材組，則有一個器材組只有 4 個學生使用」
意思是：前面 (x − 1) 組都是滿的（6 人），最後 1 組只有 4 人。 y = 6(x − 1) + 4 常見錯誤：寫成 y = 6x − 4。
6x 是「每組都 6 人」的總人數，但最後一組只有 4 人， 少的是 6 − 4 = 2 人，不是 4 人。 所以正確應該是 6x − 2（= 6(x−1) + 4，兩者相等 ✓）。
第二句：「5 個學生使用一個器材組，則恰不夠 1 組」
「不夠 1 組」是說器材組數量不足，還要再多 1 組才夠用。
也就是說，學生要分成 (x + 1) 組，每組 5 人： y = 5(x + 1) 常見錯誤：寫成 y = 5(x − 1) 或 y = 5x − 1， 把「不夠」誤解成「少用了一組」。
「不夠」是需求 > 供給，需求那邊要「加」。
正確解法
共有 x 個器材組，其中：
・(x − 1) 組是滿的，每組 6 人 → 6(x − 1) 人
・剩下 1 組只有 4 人 → 4 人 y = 6(x − 1) + 4
展開看看等於什麼
y = 6x − 6 + 4 = 6x − 2
意思是「比全部坐滿少 2 人」，和「最後一組少了 6−4 = 2 人」完全吻合 ✓
如果你寫成 6x − 4，就代表你以為少了 4 人，那是把「只有 4 人」誤讀成「少了 4 人」。
每組 5 人來分，器材組恰好不夠 1 組 → 學生剛好可以分成 (x + 1) 組，每組都滿 5 人： y = 5(x + 1) 「恰」這個字代表沒有餘數，最後一組也是滿的 5 人。
y = 5(x + 1) 且 y = 6(x − 1) + 4 正是選項 (D)。
5(x + 1) = 6(x − 1) + 4 5x + 5 = 6x − 6 + 4 5x + 5 = 6x − 2 x = 7 y = 5 × 8 = 40（人）
把答案代回題目檢查
| 情境 | 實際分配 | 符合題意嗎 |
|---|---|---|
| 6 人一組（7 組） | 6 組滿 6 人 = 36 人，第 7 組只有 4 人 36 + 4 = 40 ✓ | ✓「有一組只有 4 人」 |
| 5 人一組 | 40 ÷ 5 = 8 組，但只有 7 組 8 − 7 = 1 | ✓「恰不夠 1 組」 |
四個選項各代表什麼誤解
| 選項 | 第一式的意思 | 第二式的意思 | 解出來 |
|---|---|---|---|
| (A) y=5x−1；y=6x−4 | 誤以為「少 4 人」 | 誤以為「少 1 人」 | x = 3, y = 14 ✗ |
| (B) y=5x+1；y=6x+4 | 誤以為「多 4 人」 | 誤以為「多 1 人」 | x = −3 ✗ 不合理 |
| (C) y=5(x−1)；y=6(x−1)+4 | ✓ 正確 | 誤以為「少用 1 組」 | x = 9, y = 40? 不自洽 ✗ |
| (D) y=5(x+1)；y=6(x−1)+4 | ✓ 正確 | ✓ 正確 | x = 7, y = 40 ✓ |
注意 (A) 解出 x = 3、y = 14。
如果只是解方程式而沒回頭檢查，很容易覺得「有整數解就對了」——
但 3 組、14 人代回題目：6 人一組會是 6+6+2，
最後一組是 2 人不是 4 人 ✗，根本不符合題意。
「有解」不等於「對」，一定要代回原題檢查。
要記住的觀念
- 「有一組只有 k 人」→ 前 (x−1) 組滿，最後一組 k 人 → y = 滿人數 × (x−1) + k。 不要寫成「總數減 k」。
- 「不夠 n 組」→ 需要 (x + n) 組 → 未知數要「加」。
「多出 n 組」→ 只用了 (x − n) 組 → 未知數要「減」。 不夠就加、多餘就減，這句口訣直接背。 - 「恰」= 剛好、沒有餘數。 「恰不夠 1 組」代表分成 (x+1) 組時每組都是滿的。
- 列式題最強的檢查法：把方程式解出來，代回原文一句一句對。 x = 7、y = 40 要能同時說得通兩句話才算對。
- 答案必須合理：組數、人數都要是正整數。 選項 (B) 解出負數，一看就能刪。
- 兩個式子要各自獨立翻譯，不要互相參照。 先把第一句翻完並確認，再翻第二句。
「不夠 1 組」和「剩下 1 組」的差別（畫圖秒懂）
畫成兩排一比，加還是減立刻清楚。
考試時在草稿上畫兩排方框，比在腦中想安全太多。
類題自我檢測
1. 若改成「6 人一組，有一組只有 2 個學生」，其餘不變，聯立方程式為何？解是多少？
2. 若改成「5 人一組，恰多出 1 組」，其餘不變，x、y 各是多少？
3. 某班發鉛筆，每人 3 枝多 5 枝，每人 4 枝少 7 枝，求人數與鉛筆數。
看解答
1. y = 6(x − 1) + 2 且 y = 5(x + 1)
6x − 4 = 5x + 5 → x = 9，y = 50
驗算：9 組，8 組滿 6 人 = 48，第 9 組 2 人 → 50 ✓；
50 ÷ 5 = 10 組，只有 9 組 → 不夠 1 組 ✓
2. y = 6(x − 1) + 4 且 y = 5(x − 1)
6x − 2 = 5x − 5 → x = −3 ✗
解出負數 → 這個情境不可能發生。
合理：5 人一組比 6 人一組需要更多組，不可能反而多出來。
算出不合理的答案時，要回頭懷疑題目情境本身。
3. 設人數 x、鉛筆 y：
y = 3x + 5 且 y = 4x − 7
3x + 5 = 4x − 7 → x = 12，y = 41
答：12 人、41 枝。驗算：3×12+5 = 41 ✓、4×12−7 = 41 ✓
「多」就加、「少」就減——和本題是同一個口訣。
我的原始作答
草稿上寫著 x = 3。
x = 3 正是選項 (A) 那組方程式（y = 5x − 1、y = 6x − 4）的解，
代表你把兩句話都翻成了「減法」版本：
・「有一組只有 4 人」→ 誤翻成「總人數少 4」
・「不夠 1 組」→ 誤翻成「總人數少 1」
這兩個地方都要改成用「組數」去想，而不是用「人數」去加減：
・有一組只有 4 人 → 組數不變，是最後那一組人變少
→ y = 6(x − 1) + 4
・不夠 1 組 → 學生要用到 (x + 1) 組
→ y = 5(x + 1)
建議固定用這個兩步驟：
① 先畫「一排方框」代表器材組，把每組人數寫在框裡
6 人一組：[6][6][6][6][6][6][4] ← 最後一格是 4
5 人一組：[5][5][5][5][5][5][5] + [5] ← 多需要一格
② 照著圖把總人數加起來，就是方程式
更重要的是：算出 x = 3 之後，一定要代回題目念一遍。
「3 個器材組、14 個學生，6 人一組會是 6、6、2，
最後一組是 2 人不是 4 人」——
一代回去就會發現不對，馬上就能重新檢查列式。
這個「代回原文檢查」的動作，是列式題最有效的自我糾錯工具。
複習標記
看完這一頁順手標一下，紀錄會同步到總覽頁—— 標「有把握」的會被劃掉，標「有疑問」的會被標成琥珀色，可以用「只看有疑問的」單獨叫出來。 再按一次同一顆按鈕就取消。紀錄存在這台裝置的瀏覽器裡。