a : 2 = 3 : b 的真正意思是「ab = 6」，所以成反比
題目
- (A) a 必為 3
- (B) 3a = 2b
- (C) a 與 b 成正比
- (D) a 與 b 成反比 ← 正確答案
錯在哪裡
a : 2 = 3 : b
・(A) a 必為 3？錯。a 可以是任何非零數，例如 a = 6 時 b = 1、a = 2 時 b = 3。 「必為」是很強的字眼，只要找到一個反例就能刪掉。
・(B) 3a = 2b？錯。那是把 a:2 = 3:b 錯看成 a:3 = 2:b（把位置對錯了）。
・(C) 成正比？錯。正比是「相除固定」（a/b = 常數），本題是相乘固定。
・(D) 成反比？對。ab = 6 是定值 → 標準的反比關係。
最常見的失誤，是把「內項外項」的位置對錯。 在比例式 a : b = c : d 中，最外面兩個（a、d）相乘 = 中間兩個（b、c）相乘。
正確解法
a : 2 = 3 : b → a × b = 2 × 3 ab = 6 這一行就是整題的全部。
ab = 6（乘積固定）→ 反比 也可以寫成 a = 6/b （a 是 b 的倒數的倍數） 反比的定義：兩數乘積為定值，一個變大另一個就變小。
答案 (D)。
| a | b | ab | a 是 3 嗎 (A) | 3a = 2b 嗎 (B) | a/b 固定嗎 (C) 正比 | ab 固定嗎 (D) 反比 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 6 | 6 | ✗ | 3 ≠ 12 | a/b = 1/6 | 6 ✓ |
| 2 | 3 | 6 | ✗ | 6 ≠ 6 ✓（碰巧） | a/b = 2/3（變了） | 6 ✓ |
| 3 | 2 | 6 | ✓ | 9 ≠ 4 | a/b = 3/2（又變了） | 6 ✓ |
| 6 | 1 | 6 | ✗ | 18 ≠ 2 | a/b = 6 | 6 ✓ |
| 結論 | ✗ 不一定 | ✗ 只在 a=2,b=3 碰巧成立 | ✗ a/b 一直在變 | ✓ 永遠是 6 | ||
注意 (B) 在 a = 2、b = 3 時「碰巧」成立—— 這就是為什麼驗證選項時不能只代一組數字， 至少要代兩三組，才不會被巧合騙過去。
正比 vs 反比，一張表分清楚
| 正比 | 反比 | |
|---|---|---|
| 定義 | 兩數相除為定值 | 兩數相乘為定值 |
| 式子 | a / b = k 或 a = kb | a × b = k 或 a = k/b |
| 比例式長相 | a : b = c : d 且 a、c 同側 | a : b = c : d 交叉相乘 |
| 一個變大時 | 另一個也變大 | 另一個變小 |
| 生活例子 | 買越多付越多（單價固定） | 人越多做越快（工作總量固定） |
| 圖形 | 過原點的直線 | 雙曲線（不通過原點） |
要記住的觀念
- 比例式的鐵則：內項乘積 = 外項乘積。 a : b = c : d ⟺ ad = bc 最外面兩個相乘，等於中間兩個相乘。
- a : 2 = 3 : b → ab = 6（a 和 b 是外項，2 和 3 是內項）。 不是 3a = 2b，那是把位置搞混了。
- 乘積固定 = 反比；相除固定 = 正比。 「乘反除正」可以這樣記：乘起來固定就是反比。
- 看到「必為」「一定是」→ 找反例。 只要舉出一組符合條件但不符合敘述的數字，就能立刻刪掉那個選項。
- 驗證選項要代兩組以上數字。 本題的 (B) 在 a=2、b=3 時會碰巧成立，只代一組就會選錯。
- 比例式可以改寫成分數： a : 2 = 3 : b ⟺ a/2 = 3/b 交叉相乘 → ab = 6。寫成分數再交叉相乘，比較不會弄錯位置。
怎麼永遠不會搞錯「內項外項」？
方法一：改寫成分數，用「交叉相乘」。 a : 2 = 3 : b → a/2 = 3/b
方法二：記「頭尾相乘、中間相乘」。
把 a : 2 = 3 : b 想成一排四個數：a、2、3、b
・頭尾（a 和 b）相乘
・中間（2 和 3）相乘
兩者相等 → ab = 6
方法三：代數字驗證。 隨便找一組明顯成立的比例，例如 2 : 4 = 3 : 6， 檢查 2 × 6 = 12 = 4 × 3 ✓ —— 確認自己的規則沒記反。
類題自我檢測
1. 若 x : 5 = 4 : y，且 x、y 皆不為零，則 x 與 y 的關係為何？xy 等於多少？
2. 若 a : b = 3 : 5，則 a 與 b 成正比還是反比？
3. 若 a : 2 = 3 : b 且 a 是正整數，b 也是正整數，共有幾組解？
看解答
1. 外項 x、y 相乘 = 內項 5、4 相乘 →
xy = 20
乘積固定 → 成反比。
2. a : b = 3 : 5 → 5a = 3b → a/b = 3/5（固定）
相除固定 → 成正比。
注意和本題的差別：這裡未知數 a、b 分別在外項和內項各一個
（a 是外項、b 是內項），所以是正比；
本題 a、b 都是外項，相乘才會固定，所以是反比。
看未知數的位置，就知道是正比還是反比。
3. ab = 6，正整數解：
(a,b) = (1,6)、(2,3)、(3,2)、(6,1)
共 4 組（6 的正因數有 1、2、3、6 共四個）。
這也再次說明 (A)「a 必為 3」是錯的——a 有四種可能。
我的原始作答
草稿上寫了 a : 2、= 3 : b，下面試了 2 : 2 = 3 : 3——
你想用「代數字」的方式驗證，這個方向很好，
但代的那一組（a=2、b=3 那類）剛好是會讓錯誤選項也成立的巧合值。
建議把驗證流程改成兩步：
① 先化簡：a : 2 = 3 : b → ab = 6（先得到最乾淨的關係）
② 再代數字：而且至少代兩組，例如 (1, 6) 和 (6, 1)
有了 ab = 6 這個式子，四個選項可以直接判斷，根本不用試：
・(A)「a 必為 3」→ 但 (1,6) 也成立 → ✗
・(B)「3a = 2b」→ 代 (1,6)：3 ≠ 12 → ✗
・(C)「正比」→ 正比要 a/b 固定，但 1/6 ≠ 6/1 → ✗
・(D)「反比」→ ab 永遠 = 6 → ✓
核心提醒：比例題不要急著代數字，先用「內項外項相乘」化成等式。
化簡之後題目往往就變得非常簡單，
而且可以避免被「碰巧成立」的數字誤導。
另外請把「乘積固定＝反比、相除固定＝正比」這句話背熟，
這是第 2 冊比例單元最核心的一句話。
複習標記
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