兩區合併的比例：不能直接把 5:3 和 2:1 相加
題目
| 區域 | 針葉樹棵數：闊葉樹棵數 |
|---|---|
| 甲 | 5 : 3 |
| 乙 | 2 : 1 |
- (A) 8/3
- (B) 9/5
- (C) 7/4
- (D) 4/3 ← 正確答案
錯在哪裡
甲區針 : 闊 = 5 : 3 → 可以寫成 5a : 3a
乙區針 : 闊 = 2 : 1 → 可以寫成 2b : b
這裡的 a 和 b 是不同的數！ 如果兩區都用同一個字母（都寫成 5a、3a、2a、a）， 就等於擅自假設兩區的規模一樣，題目根本沒說。
常見錯誤 1：直接把比例相加。 寫成 (5+2) : (3+1) = 7 : 4 → 選 (C)。 比例不能這樣加，因為 5:3 和 2:1 的「一份」大小不同。
常見錯誤 2：漏掉「總體 9 : 5」這個條件。 題目給了三個比例（甲、乙、總體），總體那個 9 : 5 才是連結 a 和 b 的橋樑。 沒有它，a 和 b 的關係就定不下來，題目也就無解。
常見錯誤 3：算完忘了問題問的是「總棵數的比」。 不是針葉樹的比，也不是闊葉樹的比， 而是甲區全部樹木 : 乙區全部樹木。
正確解法
| 區域 | 針葉樹 | 闊葉樹 | 該區總棵數 |
|---|---|---|---|
| 甲（5 : 3） | 5a | 3a | 8a |
| 乙（2 : 1） | 2b | b | 3b |
| 合計 | 5a + 2b | 3a + b | 8a + 3b |
全區針葉樹 : 闊葉樹 = 9 : 5： (5a + 2b) : (3a + b) = 9 : 5 內項乘積 = 外項乘積： 5(5a + 2b) = 9(3a + b) 25a + 10b = 27a + 9b 10b − 9b = 27a − 25a b = 2a 乙區的「一份」是甲區的 2 倍。
甲區總棵數 = 8a
乙區總棵數 = 3b = 3 × 2a = 6a 甲 : 乙 = 8a : 6a = 4 : 3 比值 = 4/3 答案 (D)。
代具體數字驗算（強烈建議做）
取 a = 1、b = 2：
| 區域 | 針葉樹 | 闊葉樹 | 總棵數 | 該區的比 |
|---|---|---|---|---|
| 甲 | 5 | 3 | 8 | 5 : 3 ✓ |
| 乙 | 4 | 2 | 6 | 4 : 2 = 2 : 1 ✓ |
| 全區 | 9 | 5 | 14 | 9 : 5 ✓ |
三個比例條件全部成立，而且 甲 : 乙 = 8 : 6 = 4 : 3 ✓ 這組數字（甲 5+3、乙 4+2）非常漂亮，可以直接記起來當作這題的範例。
為什麼 (C) 7/4 是錯的？
這隱含了「甲區和乙區的一份一樣大」，即 a = b。
但我們算出來 b = 2a，兩區的一份差了兩倍，所以不能直接加。
檢查：若真的 a = b = 1，甲區 5:3、乙區 2:1
全區針葉 = 5+2 = 7、闊葉 = 3+1 = 4 → 全區比 = 7 : 4， 但題目說全區是 9 : 5 ✗ 矛盾。
這就證明了 a 和 b 不可能相等。
要記住的觀念
- 不同群體的比例，一定要用不同的比例常數。 甲區用 a、乙區用 b——這是這類題最重要的一句話。
- 比例不能直接相加。 5:3 和 2:1 合起來不是 7:4，除非兩邊的「一份」剛好一樣大。
- 題目給的第三個比例（全區 9:5）就是用來連結 a、b 的方程式。 三個比例 → 兩個未知數 → 剛好可以解出 a、b 的關係。
- 比例式化成等式：內項乘積 = 外項乘積。 (5a+2b) : (3a+b) = 9 : 5 → 5(5a+2b) = 9(3a+b)
- 「比值」是把比寫成分數：甲 : 乙 = 4 : 3 → 比值 = 4/3。 注意順序，問「甲與乙」就是甲在分子。
- 答案一定要代回三個條件驗算。 甲 5:3 ✓、乙 4:2 = 2:1 ✓、全區 9:5 ✓ —— 三個都對才算完成。
另一種解法：用「加權平均」的角度想
把針葉樹的比例轉成分數：
・甲區針葉樹佔該區的 5/8
・乙區針葉樹佔該區的 2/3
・全區針葉樹佔全部的 9/14
全區的比例應該落在 5/8 和 2/3 之間（先檢查）：
5/8 = 0.625 9/14 ≈ 0.643 2/3 ≈ 0.667
✓ 0.643 確實在中間，合理。
設甲區總棵數 : 乙區總棵數 = m : n，則
(5/8)m + (2/3)n = (9/14)(m + n)
整理後同樣可得 m : n = 4 : 3。
這個方法的價值在「先檢查合理性」：
全區比例一定介於兩區比例之間。
如果算出來的答案讓全區比例跑到範圍外，就一定錯了。
類題自我檢測
1. 若甲區針 : 闊 = 3 : 1、乙區 = 1 : 1、全區 = 2 : 1，求甲、乙總棵數的比。
2. 承本題，若甲區共有 160 棵樹，全區共有多少棵樹？
3. 承本題，全區的針葉樹共有幾棵？（用第 2 題的數字）
看解答
1. 甲：3a、a（共 4a）；乙：b、b（共 2b）
(3a + b) : (a + b) = 2 : 1 → 3a + b = 2(a + b) → a = b
甲 : 乙 = 4a : 2b = 4a : 2a = 2 : 1
2. 甲區 = 8a = 160 → a = 20
乙區 = 6a = 120 棵
全區 = 160 + 120 = 280（棵）
（也可用 14a = 14 × 20 = 280 ✓）
3. 全區針葉樹 = 9 份、闊葉樹 = 5 份，共 14 份 = 280 棵 → 每份 20 棵
針葉樹 = 9 × 20 = 180（棵）
驗算：甲區針葉 5a = 100、乙區針葉 2b = 4a = 80 → 100 + 80 = 180 ✓
我的原始作答
草稿上寫著 9 : 5 = 5x + 2y : 3x + y——
這一步完全正確，而且非常關鍵！
你已經做對了本題最重要的兩件事：
① 甲區用 x、乙區用 y，兩個不同的字母（很多人在這裡就錯了）
② 用全區的 9 : 5 把兩者連起來
草稿後面出現 40、6、24、3 等數字，看起來是在展開時卡住了。
這一步只要照「內項外項相乘」做就好：
5(5x + 2y) = 9(3x + y)
25x + 10y = 27x + 9y
y = 2x
然後最重要的是別忘了最後一步：題目問的是「總棵數」的比。
甲區總數 = 5x + 3x = 8x
乙區總數 = 2y + y = 3y = 3(2x) = 6x
8x : 6x = 4 : 3
給你的具體建議：把「該區總棵數」那一欄先寫進表格。
| 區域 | 針葉 | 闊葉 | 總棵數 ←先寫好 |
|---|---|---|---|
| 甲 | 5x | 3x | 8x |
| 乙 | 2y | y | 3y |
最後強烈建議用具體數字驗算：甲區 5+3、乙區 4+2 → 全區 9:5 ✓， 這組數字很小很好記，驗算只要十秒鐘。
複習標記
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