(−123 − 456)²：兩個都是負的，交叉項是「加」
題目
- (A) −123² + 2 × 123 × 456 − 456²
- (B) −123² − 2 × 123 × 456 − 456²
- (C) 123² + 2 × 123 × 456 + 456² ← 正確答案
- (D) 123² − 2 × 123 × 456 + 456² ← 我選的
錯在哪裡
但這裡的式子是 (−123 − 456)²，括號裡是 (−123) + (−456) —— 兩項都是負數，不是「a 減 b」的形式。
最快的處理方式是先把負號提出來： (−123 − 456)² = ［−(123 + 456)］² = (123 + 456)² 平方會把負號吃掉，所以整題其實就是最單純的 (a + b)²， 展開後三項全部是正的 → 選 (C)。
另外，(A)、(B) 開頭寫成 −123² 也是陷阱：
−123² 的意思是 −(123²) = −15129，而不是 (−123)² = +15129。 平方符號只作用在緊鄰的數字上，前面的負號不在平方裡面。
正確解法
−123 − 456 = −(123 + 456) = −579 所以 (−123 − 456)² = (−579)² = 579² 負數平方變正數，接下來只要處理 (123 + 456)² 就好。
(a + b)² = a² + 2ab + b² 取 a = 123、b = 456： (123 + 456)² = 123² + 2 × 123 × 456 + 456² 這正是選項 (C)。
左式：(−123 − 456)² = (−579)² = 335241 (C)：123² + 2×123×456 + 456² = 15129 + 112176 + 207936 = 335241 ✓ 完全相符。
| 選項 | 算式 | 數值 | = 335241？ |
|---|---|---|---|
| (A) | −15129 + 112176 − 207936 | −110889 | ✗ |
| (B) | −15129 − 112176 − 207936 | −335241 | ✗（差一個負號） |
| (C) | 15129 + 112176 + 207936 | 335241 | ✓ |
| (D) | 15129 − 112176 + 207936 | 110889 | ✗ |
(D) 其實是 (123 − 456)² = (−333)² = 110889 —— 它是「123 減 456」的平方，不是本題的式子。
要記住的觀念
- 括號內先化簡，再決定套哪個公式。−123 − 456 是「兩個負數相加」，不是「相減」，提出負號後就變成 (a+b)²。
- (−k)² = k²，負號被平方吃掉。這是本題的核心：(−579)² = 579²。
- −k² 和 (−k)² 完全不同！−123² = −15129（先平方再變號）；(−123)² = +15129（整個括號平方）。看到有沒有括號要特別小心。
- (a + b)² = a² + 2ab + b²，三項全正；(a − b)² = a² − 2ab + b²，只有中間項是負的。頭尾兩項永遠是正的（因為都是平方），所以 (A)、(B) 開頭是負的就一定錯。
- 不確定就代小數字試。把 123 換成 1、456 換成 2：(−1−2)² = 9，而 1² + 2×1×2 + 2² = 9 ✓ 三秒就能驗證公式選對沒。
一眼刷掉錯誤選項的技巧
任何實數的平方一定 ≥ 0，所以 (−123 − 456)² 必為正數。
・(A) = −15129 + 112176 − 207936：頭尾都是負的、負得比較多 → 結果為負 ✗
・(B) = 三項全負 → 一定是負數 ✗
光用「答案必須是正數」就能刷掉一半的選項，剩下 (C)、(D) 再判斷中間項的正負即可。
這和第 1 冊指數律那題的技巧一樣：先想「答案應該長什麼樣」，再去對選項。
類題自我檢測
1. (−7 − 3)² 等於下列何者？
(a) −7² + 2×7×3 − 3² (b) 7² + 2×7×3 + 3² (c) 7² − 2×7×3 + 3²
2. 化簡並比較大小：−5²、(−5)²、(−5)³、−5³
看解答
1. (−7 − 3)² = ［−(7+3)］² = 10² = 100。
(a) = −49 + 42 − 9 = −16 ✗ (b) = 49 + 42 + 9 = 100 ✓ (c) = 49 − 42 + 9 = 16 ✗
答案 (b)，和本題完全同型。
2. −5² = −(5²) = −25；(−5)² = 25；(−5)³ = −125；−5³ = −(5³) = −125。
大小：25 > −25 > −125 = −125。
重點：偶次方時「有沒有括號」結果不同（−25 vs 25）；奇次方時剛好一樣（都是 −125）。
我的原始作答
右邊草稿寫了「= 78962 + …」之類的嘗試，看得出有想直接算數值，但沒有先把括號整理好。
建議把第一個動作固定成：「括號裡先加減完，再看是 (a+b)² 還是 (a−b)²」。
本題只要寫下一行 −123 − 456 = −579，就會發現這是 (−579)² = 579²，
三項全正，答案立刻是 (C)。
另外請特別記住 −123² 和 (−123)² 不一樣 —— 選項 (A)(B) 就是靠這個騙人的。
複習標記
看完這一頁順手標一下，紀錄會同步到總覽頁—— 標「有把握」的會被劃掉，標「有疑問」的會被標成琥珀色，可以用「只看有疑問的」單獨叫出來。 再按一次同一顆按鈕就取消。紀錄存在這台裝置的瀏覽器裡。