共用邊的長方形與正方形：√3 × √3 = 3
題目
如右圖，BE 為長方形甲與正方形乙的共用邊，
若 AC = 9√3，乙的面積為 108，則甲的面積為何？
（圖中 A、B、C 由上而下在同一鉛直線上，甲在上、乙在下）
（圖中 A、B、C 由上而下在同一鉛直線上，甲在上、乙在下）
- (A) 36 ← 我選的
- (B) 48
- (C) 54 ← 正確答案
- (D) 60
我的答案：(A) 36根號沒化簡／相乘時漏掉 √3×√3 = 3
正確答案：(C) 543√3 × 6√3 = 18 × 3 = 54
錯在哪裡
關鍵錯誤：根式沒有先化簡，導致後面每一步都在硬算。
這題的第一步一定是把 √108 化簡成 6√3。
如果停在「乙的邊長 = √108」，接下來的減法 9√3 − √108 就會算不下去， 只能亂猜或用近似值硬湊。
第二個常見失分點是根式相乘時忘了 √3 × √3 = 3：
3√3 × 6√3 = (3 × 6) × (√3 × √3) = 18 × 3 = 54
如果只乘係數就寫成 18，或把 √3 × √3 當成 √3、當成 9，答案就會整個跑掉。
提醒：面積 108 是「邊長的平方」，要開根號才會變成邊長。 看到「正方形面積」四個字，手要自動寫下「邊長 = √面積」。
這題的第一步一定是把 √108 化簡成 6√3。
如果停在「乙的邊長 = √108」，接下來的減法 9√3 − √108 就會算不下去， 只能亂猜或用近似值硬湊。
第二個常見失分點是根式相乘時忘了 √3 × √3 = 3：
3√3 × 6√3 = (3 × 6) × (√3 × √3) = 18 × 3 = 54
如果只乘係數就寫成 18，或把 √3 × √3 當成 √3、當成 9，答案就會整個跑掉。
提醒：面積 108 是「邊長的平方」，要開根號才會變成邊長。 看到「正方形面積」四個字，手要自動寫下「邊長 = √面積」。
正確解法
Step 1 由乙的面積求出邊長（先化簡根號！）
邊長 = √108 = √(36 × 3) = √36 × √3 = 6√3 所以 BC = BE = 6√3 （正方形四邊等長，共用邊 BE 也是 6√3）。
邊長 = √108 = √(36 × 3) = √36 × √3 = 6√3 所以 BC = BE = 6√3 （正方形四邊等長，共用邊 BE 也是 6√3）。
Step 2 求出甲的另一邊 AB
A、B、C 在同一直線上，且 AC = AB + BC：
AB = 9√3 − 6√3 = 3√3 （同類的根式才能加減，就像 9個√3 減 6個√3 剩 3個√3。）
A、B、C 在同一直線上，且 AC = AB + BC：
AB = 9√3 − 6√3 = 3√3 （同類的根式才能加減，就像 9個√3 減 6個√3 剩 3個√3。）
Step 3 算甲的面積
甲是長方形，兩邊分別是 AB = 3√3 與 BE = 6√3：
甲 = 3√3 × 6√3 = (3 × 6) × (√3 × √3) = 18 × 3 = 54 答案 (C) 54。
甲是長方形，兩邊分別是 AB = 3√3 與 BE = 6√3：
甲 = 3√3 × 6√3 = (3 × 6) × (√3 × √3) = 18 × 3 = 54 答案 (C) 54。
Step 4 更快的解法：用「同底不同高」的面積比
甲和乙共用邊 BE，等於兩個長方形的「底」一樣長， 所以面積比 = 高的比：
甲 : 乙 = AB : BC = 3√3 : 6√3 = 1 : 2 甲 = 108 ÷ 2 = 54 ✓ 完全不用做根式乘法就得到答案，而且可以拿來檢查上面的計算。
甲和乙共用邊 BE，等於兩個長方形的「底」一樣長， 所以面積比 = 高的比：
甲 : 乙 = AB : BC = 3√3 : 6√3 = 1 : 2 甲 = 108 ÷ 2 = 54 ✓ 完全不用做根式乘法就得到答案，而且可以拿來檢查上面的計算。
用近似值再確認一次
√3 ≈ 1.732 →
| 線段 | 精確值 | 約略長度 |
|---|---|---|
| AC | 9√3 | 15.6 |
| BC（＝乙的邊） | 6√3 | 10.4 |
| AB（＝甲的高） | 3√3 | 5.2 |
乙的面積 ≈ 10.4 × 10.4 ≈ 108 ✓ 甲的面積 ≈ 5.2 × 10.4 ≈ 54 ✓
要記住的觀念
- 看到根號先化簡。√108 = √(36×3) = 6√3。訣竅：從被開方數裡找出最大的完全平方數（4、9、16、25、36、49…）。
- √a × √a = a，不是 √a。√3 × √3 = 3。這一步漏掉，答案就會差 3 倍。
- 根式相乘：係數乘係數、根號乘根號。3√3 × 6√3 = (3×6)(√3×√3) = 18 × 3 = 54。
- 根式相加減：只有「同類根式」才能合併。9√3 − 6√3 = 3√3，但 9√3 − √108 要先化簡才能減。
- 正方形面積 → 邊長要開根號。面積 108 的正方形，邊長是 √108 = 6√3，不是 108 ÷ 4。
- 共用一條邊的兩個長方形，面積比 = 另一邊的比。這個技巧可以繞過大部分的根式計算，記起來很好用。
為什麼答案是整數 54，沒有根號？
因為甲的兩邊 3√3 與 6√3 都含 √3，相乘時 √3 × √3 = 3 剛好把根號消掉。
「兩個含相同根號的數相乘，結果會變成整數」—— 這也是檢查的好方法：
如果你算出來的面積還帶著 √3（例如 18√3），就代表少乘了一次根號，一定算錯了。
類題自我檢測
如圖同型：BE 為長方形甲與正方形乙的共用邊， AC = 10√2，乙的面積為 128，求甲的面積。
看解答
乙的邊長 = √128 = √(64 × 2) = 8√2。
AB = 10√2 − 8√2 = 2√2。
甲 = 2√2 × 8√2 = (2×8) × (√2×√2) = 16 × 2 = 32。
用面積比檢查：甲 : 乙 = 2√2 : 8√2 = 1 : 4 → 甲 = 128 ÷ 4 = 32 ✓
我的原始作答
旁邊有寫到 6√3，代表你其實已經把 √108 化簡出來了，方向完全正確，
問題出在最後的乘法沒有完成到底。
建議把根式乘法拆成兩段寫：先寫「(3 × 6)」再寫「(√3 × √3)」，
分開寫就不會忘記後面那一段等於 3。
另外，這題用「共用邊 → 面積比 1 : 2 → 108 ÷ 2」只要 10 秒，下次先找有沒有這種捷徑。
複習標記
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