兩個半圓的面積和：整包代入畢氏定理
題目
- (A) 18π ← 正確答案
- (B) 24π ← 我選的
- (C) 30π
- (D) 36π
錯在哪裡
題目只告訴你半徑是 6，沒有給長方形的長和寬 —— 這其實是一個強烈的暗示： 你不用（也不可能）算出個別邊長，只需要用到「AD² + CD²」這一整包。
因為兩個半圓的面積和整理之後，剛好只跟 AD² + CD² 有關， 而這一包正好等於對角線的平方 = 直徑² = 144。
另一個常犯的錯是半圓面積公式寫錯：
半圓面積 = ½ × π × 半徑²，而題目給的是直徑，要先除以 2 才能當半徑。
若直接寫成 ½πd²，答案會變成 4 倍。
正確解法
長方形的四個頂點都在圓上 → 長方形的對角線就是圓的直徑 （因為長方形的對角線互相平分且等長，交點就是圓心 O）。
AC = 直徑 = 2 × 6 = 12
長方形的每個角都是直角，所以 △ADC 是直角三角形（∠D = 90°）：
AD² + CD² = AC² = 12² = 144 這就是本題唯一需要的數字。
以 AD 為直徑 → 半徑 = AD/2 → 半圓面積 = ½ × π × (AD/2)² = π·AD² / 8 以 CD 為直徑 → 同理 = π·CD² / 8
面積和 = π·AD²/8 + π·CD²/8 = π(AD² + CD²) / 8 = π × 144 / 8 = 18π 答案 (A) 18π。
驗算：換不同形狀的長方形，答案都一樣
| AD | CD | AD² + CD² | 兩半圓面積和 |
|---|---|---|---|
| 6√2 ≈ 8.49 | 6√2 ≈ 8.49 | 72 + 72 = 144 ✓ | 18π |
| 7.2 | 9.6 | 51.84 + 92.16 = 144 ✓ | 18π |
| 4 | √128 ≈ 11.31 | 16 + 128 = 144 ✓ | 18π |
不管長方形是胖是瘦，只要內接在同一個圓裡，兩半圓面積和永遠是 18π —— 這正是題目不給邊長的原因。
題目那句「BC < CD」只是為了確定圖形的擺法（哪邊是長、哪邊是寬），對計算沒有影響。
要記住的觀念
- 圓內接長方形（或正方形）的對角線 = 直徑。看到「四點都在圓上」就先把對角線畫出來。
- 看到「平方相加」就想畢氏定理。本題化簡後出現 AD² + CD²，立刻對應到直角三角形的斜邊平方。
- 題目沒給的量，通常代表你不需要單獨求它。這是選擇題很重要的解題訊號 —— 想辦法讓未知數「整包」出現。
- 半圓面積 = ½π(d/2)² = πd²/8。直徑要先變半徑再平方，這個 8 很容易寫成 2 或 4。
- 先化簡再代數字。先把式子整理成 π(AD² + CD²)/8，最後才代 144，比邊算邊代乾淨太多。
順手記一個漂亮的結論
以直角三角形的三邊為直徑各作一個半圓，則
兩股上的半圓面積和 = 斜邊上的半圓面積。
因為 π·a²/8 + π·b²/8 = π(a² + b²)/8 = π·c²/8。
本題正是這個結論的直接應用：兩股 AD、CD 上的半圓和 = 斜邊 AC（直徑 12）上的半圓面積
= π × 144/8 = 18π —— 用這招連加法都省了。
類題自我檢測
1. 圓 O 半徑為 5，內接長方形 ABCD，以 AD、CD 為直徑作兩半圓，求面積和。
2. 承上題，若改以 AB、BC、CD、DA 四邊都作半圓，面積和是多少？
看解答
1. 對角線 = 直徑 = 10 → AD² + CD² = 100 →
面積和 = π × 100 / 8 = 12.5π。
2. 長方形對邊等長，AB = CD、BC = DA，所以四個半圓剛好是兩組相同的半圓
→ 面積和是第 1 題的 2 倍 = 25π。
（也可以想成：四個半圓 = 兩個完整的圓，直徑分別是長方形的長和寬。）
我的原始作答
這題沒有留下計算，多半是看到「沒給邊長」就覺得無解而猜了一個。
但「沒給邊長」恰恰是解題的鑰匙 —— 它在告訴你：把式子列出來，未知數會自己消掉。
養成習慣：先用符號（AD、CD）把要求的東西寫成算式，再看哪一包是題目能給你的。
本題只要寫出「π(AD² + CD²)/8」這一行，答案就等於已經到手了。
複習標記
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