兩正方形面積差：用平方差公式心算
題目
- (A) 11200
- (B) 12800 ← 正確答案
- (C) 14400 ← 我選的
- (D) 15800
錯在哪裡
你的答案 14400 剛好等於 120²，也就是：
17764 − 3364 = 14400 這代表你把正方形 ODEF 的面積算成了 58² = 3364， 把 F 的另一個坐標 −40 漏掉了。
算原點到某點的距離平方時，兩個坐標都要平方再相加：
OF² = (−40)² + (−58)² = 1600 + 3364 = 4964 不能只挑其中一個。
（另外提醒：坐標是負數也沒關係，平方之後一律變正，(−40)² = 1600。）
正確解法
四邊形 OABC 是正方形，頂點順序 O→A→B→C，所以 OA 是它的一邊。
四邊形 ODEF 是正方形，頂點順序 O→D→E→F，所以 OF 是它的一邊（O 與 F 相鄰）。
正方形面積 = 邊長² → 只要算出 OA² 和 OF² 就好，根本不用開根號！
O 是原點 (0, 0)，所以：
OA² = 58² + 120² OF² = (−40)² + (−58)² = 40² + 58²
面積差 = (58² + 120²) − (40² + 58²) 兩邊都有 58²，直接消掉： = 120² − 40² 兩個大數 17764 與 4964 完全不用算出來。
120² − 40² = (120 + 40)(120 − 40) = 160 × 80 = 12800 答案 (B) 12800。
硬算一次確認
| 正方形 | 邊 | 面積 = 邊² | 數值 |
|---|---|---|---|
| OABC | OA，A(58, 120) | 58² + 120² = 3364 + 14400 | 17764 |
| ODEF | OF，F(−40, −58) | 40² + 58² = 1600 + 3364 | 4964 |
| 面積差 | 17764 − 4964 = 12800 ✓ | ||
注意 58 在兩個坐標裡都出現了 —— 這不是巧合，是出題老師故意設計的， 就是要獎勵有看出「可以消掉」的人，同時懲罰漏抄坐標的人。
要記住的觀念
- 正方形面積 = 邊長²，所以只要求「距離的平方」，不必開根號。看到面積就別急著算 √。
- 原點到 (x, y) 的距離平方 = x² + y²。兩個坐標都要用，一個都不能少。
- 坐標的負號平方後消失。(−40)² = 1600、(−58)² = 3364。
- 先化簡再計算。把 (58² + 120²) − (40² + 58²) 先消去共同項，比硬算兩個五位數再相減快十倍、也安全十倍。
- 平方差公式 a² − b² = (a+b)(a−b) 是心算神器。120² − 40² = 160 × 80 = 12800，不用直式。
- 從頂點命名判斷哪兩點相鄰。正方形 ODEF 中，O 和 F 是相鄰頂點（首尾相接），所以 OF 是邊而不是對角線。
為什麼 OA、OF 一定是正方形的「邊」而不是對角線？
四邊形的命名是沿著周界依序走一圈：O → A → B → C → 回到 O。
所以相鄰的字母代表相鄰的頂點，OA、AB、BC、CO 都是邊；
隔一個字母的 OB、AC 才是對角線。
同理 ODEF 中，O 與 F 是首尾相接的相鄰頂點 → OF 是邊。
如果誤把 OF 當成對角線，面積就要再除以 2，答案會變成 2482，四個選項都對不上
—— 算出來不在選項裡，通常就是這種「邊 vs 對角線」認錯了。
類題自我檢測
1. 坐標平面上 OABC、ODEF 為正方形，A(7, 24)、F(−15, −7)，求兩正方形的面積差。
2. 若 A(9, 12)，求正方形 OABC 的周長。
看解答
1. 面積差 = (7² + 24²) − (15² + 7²) = 24² − 15² = (24+15)(24−15) = 39 × 9 = 351。
（又是「7² 消掉 + 平方差公式」的組合，看到共同的數字就先消。）
2. 這題問周長，就必須開根號求出邊長：
OA = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15 → 周長 = 15 × 4 = 60。
問面積 → 不用開根號；問邊長或周長 → 才要開根號。
我的原始作答
你算出的 14400 是個「差一點就對」的答案 —— 58² + 120² 這邊完全正確，
只是減的時候少扣了 40²。
建議：把兩個坐標分別寫成兩行再相加，例如
OF² = (−40)² + (−58)²
= 1600 + 3364 = 4964
把括號和兩項都寫出來，就不會有哪一項被跳過。
更好的是直接用「先消共同項」的寫法，連大數字都不會出現。
複習標記
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