拿牌問題：「拿不到第 13 張」要列成兩個不等式
題目
(1) 若阿聖拿走的第 5 張牌為 36 號牌，則此固定的數是多少？
(2) 若依此拿牌的規律，在阿聖拿走 12 張牌後，就無法再拿第 13 張牌了， 則他拿的最後一張牌的號碼是多少？
錯在哪裡
你的草稿寫出 8, 15, 22, 29, 36 —— 第 (1) 小題完全正確 ✓
但第 (2) 小題是全新的情境：它沒有說第 5 張是 36 號， 而是給了另一個條件「剛好只能拿 12 張」。 固定的數要重新由這個條件解出來，答案是 8 而不是 7。
驗證一下如果沿用 7：第 13 張會是 8 + 12 × 7 = 92，92 ≤ 100，還拿得到！ 這和題目說「無法再拿第 13 張」矛盾 —— 所以固定的數一定不是 7。
「無法再拿第 13 張」這句話要拆成兩個條件同時成立：
① 第 12 張拿得到（≤ 100） ② 第 13 張拿不到（> 100）
兩個不等式夾出唯一答案。只用一個條件會得到一整個範圍，不會有唯一解。
正確解法
(1) 求固定的數
每次都「加上固定的數」，所以拿牌的號碼是等差數列：
首項 a₁ = 8，公差 = 固定的數 d。 第 n 張的號碼 = 8 + (n − 1)d
8 + (5 − 1)d = 36 → 8 + 4d = 36 → 4d = 28 → d = 7 固定的數是 7。
驗算：8 → 15 → 22 → 29 → 36 ✓ 第 5 張確實是 36 號。
(2) 求最後一張牌的號碼
這一小題的條件變了，設固定的數為 d（仍是正整數，因為牌是由左而右往後拿）： 第 n 張的號碼 = 8 + (n − 1)d
① 第 12 張拿得到 → 號碼不超過 100： 8 + 11d ≤ 100 → 11d ≤ 92 → d ≤ 8.36… ② 第 13 張拿不到 → 號碼超過 100： 8 + 12d > 100 → 12d > 92 → d > 7.66…
7.66… < d ≤ 8.36… d 是正整數 → d = 8（唯一解）。
8 + (12 − 1) × 8 = 8 + 88 = 96 最後一張是 96 號牌。
驗算：把 12 張牌全部列出來
| 第幾張 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 號碼 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 | 88 | 96 | 104 ✗ |
第 12 張是 96 ≤ 100，拿得到 ✓
第 13 張要 104，超過 100 張牌的範圍，拿不到 ✓
完全符合「拿走 12 張後就無法再拿第 13 張」。
順便檢查其他 d 為什麼不行
| d | 第 12 張 | 第 13 張 | 實際能拿幾張 |
|---|---|---|---|
| 7 | 85 | 92 ≤ 100 | 14 張（不合） |
| 8 | 96 ≤ 100 ✓ | 104 > 100 ✓ | 12 張 ✓ |
| 9 | 107 > 100 | — | 11 張（不合） |
要記住的觀念
- 「每次加固定的數」＝ 等差數列，第 n 項 = 首項 + (n − 1) × 公差。注意是 (n − 1) 不是 n。
- 小題與小題之間的條件不一定共用。(2) 沒說第 5 張是 36，就不能沿用 d = 7。每一小題先看清楚它自己給了什麼。
- 「剛好只能做 n 次」要列兩個不等式：第 n 次成立、第 (n+1) 次不成立。這是夾擠出唯一整數解的標準做法。
- 一個不等式只會得到範圍，兩個才會得到唯一解。如果你只列一條就解出答案，多半是漏了條件。
- 最後把數列實際列出來檢查。只有 12 個數字，寫出來一目瞭然，比任何推理都可靠。
- 檢查「沿用舊答案」會不會矛盾。本題用 d = 7 算出第 13 張是 92（拿得到），立刻就知道不對。
為什麼答案一定是整數？
因為牌的編號是整數（1～100 號），而第一張是 8 號，
之後每張都是「前一張 + 固定的數」，若固定的數不是整數，就會出現 8.5 號這種不存在的牌。
所以 d 必須是正整數。
這一點很重要 —— 正因為 d 只能取整數，
「7.66 < d ≤ 8.36」這個範圍裡才會只剩下 d = 8 一個答案。
如果 d 可以是小數，這題就會有無限多解。
做應用題時，先想清楚未知數的「合理範圍與型態」（整數？正數？），常常就是解題的關鍵。
類題自我檢測
1. 同樣 100 張牌，阿聖第 1 張拿 5 號，每次加固定的正整數。
若他拿走 10 張後就無法再拿第 11 張，求固定的數與最後一張的號碼。
2. 承上，若他總共只能拿 4 張，固定的數有幾種可能？
看解答
1. ① 第 10 張拿得到：5 + 9d ≤ 100 → 9d ≤ 95 → d ≤ 10.55
② 第 11 張拿不到：5 + 10d > 100 → 10d > 95 → d > 9.5
夾出 9.5 < d ≤ 10.55 → d = 10。
最後一張 = 5 + 9 × 10 = 95 號。（第 11 張要 105 > 100 ✗ 正確）
2. ① 5 + 3d ≤ 100 → d ≤ 31.67 ② 5 + 4d > 100 → d > 23.75
→ 23.75 < d ≤ 31.67 → d = 24, 25, …, 31 → 共 8 種。
這題示範了：夾擠出來不一定只有一個答案，要看範圍裡有幾個整數。
我的原始作答
草稿上的「8, 15, 22, 29, 36」把第 (1) 小題做得很漂亮 ——
用列舉的方式驗證公差，這個習慣非常好，請保持。
第 (2) 小題的問題是把上一小題的 7 當成已知條件繼續用。
建議：每做一個新的小題，先在旁邊重寫一次「這一小題已知什麼」。
本題 (2) 只給了「首項 8」和「剛好拿 12 張」兩個條件，
寫出來就會發現公差是未知的、需要重新求。
另外，看到「剛好」「就無法再」這種字眼，立刻寫下兩行不等式
（第 12 張 ≤ 100、第 13 張 > 100），這是這類題目的固定招式。
複習標記
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