y = ax − 2 的圖形：只有 y 截距是絕對不能變的
題目
| 選項 | 圖形描述 |
|---|---|
| (A) | 正斜率的直線，與 y 軸交於原點下方 |
| (B) | 負斜率的直線，與 y 軸交於原點下方 |
| (C) | 水平線，位於 x 軸下方 |
| (D) | 正斜率的直線，與 y 軸交於原點上方 |
- (A) 可能（a > 0）
- (B) 可能（a < 0）
- (C) 可能（a = 0） ← 我選的
- (D) 不可能 ← 正確答案
錯在哪裡
題目寫的是「函數 y = ax − 2」，沒有規定 a ≠ 0。
當 a = 0 時： y = 0 × x − 2 = −2 這是一條通過 (0, −2) 的水平線，而且它確實是一個函數（常數函數）—— 每個 x 都對應唯一的 y。所以 (C) 完全可能。
真正不可能的是 (D)：不管 a 是多少，x = 0 時 y 永遠等於 −2， 所以圖形一定通過 (0, −2)，也就是一定和 y 軸交在原點下方。
(D) 的直線交在原點上方 → 不可能 ✗
a 可以改變斜率（正、負、甚至 0），但改變不了 y 截距。 這就是本題唯一的判斷依據。
正確解法
y = ax − 2 裡，a 是未知的、可以任意變動，但 −2 是固定的。
令 x = 0： y = a × 0 − 2 = −2 不論 a 是多少，圖形必定通過點 (0, −2)。
→ y 截距永遠是 −2，一定在原點下方。
| a 的值 | 圖形長相 | 可能嗎 |
|---|---|---|
| a > 0 | 由左下往右上的斜線，交 y 軸於 −2 | ✓ 對應 (A) |
| a < 0 | 由左上往右下的斜線，交 y 軸於 −2 | ✓ 對應 (B) |
| a = 0 | 水平線 y = −2 | ✓ 對應 (C) |
| 任何 a 都做不到：y 截距為正 | ✗ 這就是 (D) | |
(A) 正斜率、交 y 軸於原點下方 → 取 a = 1 就是 y = x − 2 ✓ 可能
(B) 負斜率、交 y 軸於原點下方 → 取 a = −1 就是 y = −x − 2 ✓ 可能
(C) 水平線、在 x 軸下方 → 取 a = 0 就是 y = −2 ✓ 可能
(D) 交 y 軸於原點上方 → y 截距為正，但必須是 −2 ✗ 不可能
答案 (D)。
畫幾條實際的線確認
| a | 方程式 | 通過 (0, ?) | x = 2 時 y = | 圖形 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | y = 2x − 2 | (0, −2) | 2 | 正斜率 |
| 0 | y = −2 | (0, −2) | −2 | 水平線 |
| −3 | y = −3x − 2 | (0, −2) | −8 | 負斜率 |
三條線斜率完全不同，但全部都穿過同一點 (0, −2) —— 這就是「y 截距固定」的意思。
要記住的觀念
- y = ax + b 中，b 就是 y 截距（圖形與 y 軸的交點）。本題 b = −2，所以一定通過 (0, −2)。
- 判斷「哪個圖形不可能」→ 先找出式子裡「固定不變」的部分。本題只有 −2 是固定的，其他都能變。
- a > 0 往右上、a < 0 往右下、a = 0 是水平線。三種情況都要想到。
- 題目說「函數」而不是「一次函數」時，a = 0 是允許的。y = −2 是常數函數，仍然是函數。看清楚題目用的是哪個詞。
- 「垂直線」才不是函數。因為同一個 x 會對應無限多個 y。這是唯一被排除的圖形類型 —— 但 y = ax − 2 本來就畫不出垂直線。
- 不確定就代 a 的具體值試畫。a 取 1、0、−1 各畫一條，三條線就把 (A)(B)(C) 全部證明可行了。
如果題目改成「一次函數 y = ax − 2」呢？
那答案就會變成兩個：(C) 和 (D) 都不可能。
因為「一次函數」的定義要求最高次項的係數不為 0，也就是 a ≠ 0，
這時 y = −2 這條水平線（a = 0）就被排除了，它只是常數函數不是一次函數。
「函數」與「一次函數」只差兩個字，可用的 a 範圍卻不同 ——
這正是本題把 (C) 放進選項的用意：測驗你有沒有讀清楚題目用詞。
本題寫的是「函數」，所以 a = 0 合法，(C) 可能，答案只有 (D)。
類題自我檢測
1. 下列哪個圖形不可能是 y = ax + 3 的圖形？
(a) 正斜率、交 y 軸於原點上方 (b) 水平線在 x 軸上方 (c) 負斜率、交 y 軸於原點下方
2. 函數 y = 2x + b 的圖形通過第一、三、四象限，求 b 的範圍。
看解答
1. y = ax + 3 必通過 (0, 3)，y 截距永遠是正的 3。
(a) ✓ 可能（a > 0） (b) ✓ 可能（a = 0，即 y = 3）
(c) ✗ 不可能（y 截距不可能在原點下方）。
2. 斜率 2 > 0，直線往右上。要通過第一、三、四象限（不通過第二象限），
代表它必須從第三象限進來、穿過 x 軸正半部再上到第一象限 → y 截距為負：
b < 0
（若 b = 0 會通過原點只經過一、三象限；若 b > 0 則會通過一、二、三象限。）
我的原始作答
選 (C) 代表你正確地注意到「水平線很特別」，觀察力是有的 ——
只是把「特別」誤判成「不可能」。
建議：拿到這種圖形題，先在題目旁寫下「必過 (0, −2)」這一行。
這是唯一不會變的性質，寫出來之後只要看四張圖跟 y 軸交在哪裡，
(D) 交在上方就立刻出局，完全不必去煩惱斜率。
另外請把「a = 0 時 y = ax + b 變成水平線，仍然是函數」記起來，
這是常考的邊界情況。
複習標記
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