蛋糕漲價：線型函數要解出 a 和 b 兩個數
題目
- (A) 780
- (B) 840
- (C) 880 ← 正確答案
- (D) 960 ← 我選的
錯在哪裡
先檢查看看：
・固定加價？510 − 450 = 60，786 − 680 = 106 → 加的錢不一樣 ✗
・固定倍率？510 ÷ 450 ≈ 1.133，786 ÷ 680 ≈ 1.156 → 倍率也不一樣 ✗
這兩個都不對，正是題目說「成線型函數關係」的意思： 漲後 = a × 漲前 + b 同時有「倍率 a」和「固定調整 b」兩個部分， 所以必須用兩組資料列聯立方程式把 a、b 都解出來。
「線型函數」＝ y = ax + b，不是正比（y = ax），也不是平移（y = x + b）。 只用其中一種都會算錯。
正確解法
設調漲前售價為 x 元、調漲後為 y 元： y = ax + b （a、b 是待求的常數，這就是「待定係數法」。）
6 吋：x = 450 → y = 510： 450a + b = 510 ……① 8 吋：x = 680 → y = 786： 680a + b = 786 ……②
② − ①： (680 − 450)a = 786 − 510 → 230a = 276 a = 276 ÷ 230 = 1.2
相減消去常數項，和第 2 冊「竹籃」那題是同一個技巧 —— 兩組資料相減，固定不變的 b 自動消失。
代入 ①： 450 × 1.2 + b = 510 → 540 + b = 510 → b = −30 所以 y = 1.2x − 30 意思是：新售價 = 舊售價漲兩成，再折 30 元。
10 吋調漲後 y = 1026： 1026 = 1.2x − 30 1.2x = 1056 → x = 1056 ÷ 1.2 = 880 答案 (C) 880 元。
驗算：三種蛋糕全部代入 y = 1.2x − 30
| 尺寸 | 漲前 x | 1.2x − 30 | 題目給的漲後 | 符合？ |
|---|---|---|---|---|
| 6 吋 | 450 | 540 − 30 = 510 | 510 | ✓ |
| 8 吋 | 680 | 816 − 30 = 786 | 786 | ✓ |
| 10 吋 | 880 | 1056 − 30 = 1026 | 1026 | ✓ |
三組全部吻合 ✓ 確認 a = 1.2、b = −30 正確。
要記住的觀念
- 「成線型函數關係」＝ y = ax + b，有兩個未知數。必須用兩組資料解聯立，不能只用一組。
- 先檢查「是不是固定加價／固定倍率」。本題兩者都不是（+60 vs +106、1.133 vs 1.156），這就證明必須用 y = ax + b。
- 兩式相減消去 b，是解聯立最快的方法。230a = 276 → a = 1.2，一步就得到斜率。
- 斜率 a 的意義 = 「y 每次變化 ÷ x 每次變化」。本題 a = (786 − 510) ÷ (680 − 450) = 276 ÷ 230 = 1.2，可以直接這樣算，跳過聯立。
- 解出的 a、b 要有現實意義才安心。a = 1.2（漲兩成）、b = −30（再減 30 元）都很合理 ✓
- 三組資料都要驗算。把 880 代回去得到 1026 ✓ 才算真的完成。
更快的做法：直接用「斜率 + 一點」
線型函數的斜率就是「兩點的變化比」：
a = (786 − 510) ÷ (680 − 450) = 276 ÷ 230 = 1.2
接著用任一組已知點往前推。從 8 吋的 (680, 786) 出發，
10 吋漲後是 1026，比 786 多了 240：
漲前要多 240 ÷ 1.2 = 200 → x = 680 + 200 = 880 ✓
連 b 都不用求，因為只要知道「y 每增加 1.2，x 就增加 1」這個比例關係就夠了。
這個做法在只問某一點時特別快。
類題自我檢測
1. 某店飲料調漲前後成線型函數關係：中杯由 40 元漲成 50 元，大杯由 60 元漲成 74 元。
若特大杯漲後為 90 元，求漲前售價。
2. 承上，求該線型函數的關係式，並說明 a、b 的意義。
看解答
1. 斜率 a = (74 − 50) ÷ (60 − 40) = 24 ÷ 20 = 1.2。
代入 (40, 50)：40 × 1.2 + b = 50 → 48 + b = 50 → b = 2。
關係式 y = 1.2x + 2 → 90 = 1.2x + 2 → 1.2x = 88 → x ≈ 73.3 元。
驗算：73.3 × 1.2 + 2 ≈ 90 ✓
2. y = 1.2x + 2：
a = 1.2 表示原價先漲兩成；
b = 2 表示漲完之後每杯再多加 2 元（例如反映包材成本）。
對照本題的 b = −30（漲兩成後折 30 元），可以看出 b 的正負代表「額外加價」或「額外折扣」。
我的原始作答
這題旁邊幾乎沒有計算，多半是想用「漲了多少」或「漲了幾成」直接推，
發現對不起來之後就挑了一個接近的數字。
建議：看到「成線型函數關係」六個字，立刻在旁邊寫下「y = ax + b」，並開兩行列聯立。
450a + b = 510
680a + b = 786
式子一寫出來，相減就得到 a = 1.2，剩下都是代數運算。
另外，先花 10 秒檢查「是不是固定加價／固定倍率」——
發現兩者都不是，就能確定非用聯立不可，不會再浪費時間試錯。
複習標記
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