錯題解析

注水口壞掉：先算「一個注水口每分鐘注多少」

數學．第 4 冊．2026/07/26．第 04 題　|　主題：工作效率．分段速率．時刻計算（素養題）

題目

康橋游泳池每日清潔後於上午 9 點開始注水入泳池，於上午 10:20 可注滿 2400 m³ 的水量。已知泳池共有 5 個注水口，注水速率皆相同，注水時注水口會同時打開，且泳池總水量與時間成線型函數關係。若某日上午 9:20 時，有 1 個注水口損壞完全無法注水，僅剩 4 個注水口正常注水，則當日上午哪一個時間，可剛好注滿 2400 m³ 的水量？

(A) 10:30
(B) 10:35　←　正確答案
(C) 10:40　←　我選的
(D) 10:45

我的答案：(C) 10:40沒有分成兩段（5 口 20 分 + 4 口）計算

正確答案：(B) 10:359:20 起還要 75 分鐘

錯在哪裡

關鍵錯誤：把整段時間當成「都用 4 個注水口」在算。
注意時間軸：9:00 到 9:20 這 20 分鐘，5 個注水口都是好的，壞掉是從 9:20 才開始。所以必須分成兩段：
・第一段（9:00～9:20）：5 口全開，20 分鐘
・第二段（9:20 之後）：只剩 4 口

如果整段都用 4 口算：原本 80 分鐘 × 5/4 = 100 分鐘 → 9:00 + 100 分 = 10:40 —— 這正是你選的答案。
但這樣就白白浪費了前 20 分鐘 5 口全開的效率，所以會算得太慢。

「中途壞掉／中途加入」的題目，一律要切成兩段分開算。

正確解法

Step 1　算出「一個注水口每分鐘注多少」
正常情況：9:00 → 10:20 共 80 分鐘，5 個注水口注滿 2400 m³。 5 個口的總速率 = 2400 ÷ 80 = 30 m³/分 1 個口的速率 = 30 ÷ 5 = 6 m³/分 這是全題的基礎，先算出來後面都很順。

Step 2　第一段：9:00～9:20，5 口全開
20 分鐘 × 30 m³/分 = 600 m³ 到 9:20 時已經注了 600 m³。

Step 3　算剩下還要注多少
2400 − 600 = 1800 m³

Step 4　第二段：只剩 4 口
4 個口的速率 = 4 × 6 = 24 m³/分需要時間 = 1800 ÷ 24 = 75 分鐘

Step 5　算出注滿的時刻
從 9:20 再過 75 分鐘： 75 分鐘 = 1 小時 15 分 9:20 + 1:15 = 10:35 答案 (B) 10:35。

完整時間軸（驗算）

時段	長度	開幾個口	速率	本段注水量	累計
9:00 ～ 9:20	20 分	5	30 m³/分	600	600
9:20 ～ 10:35	75 分	4	24 m³/分	1800	2400 ✓

總共花 20 + 75 = 95 分鐘（原本只要 80 分鐘），因為壞了一個口所以多花了 15 分鐘，合理 ✓

合理性檢查：答案應該落在哪個範圍？

情境	完成時刻
5 口都沒壞（最快）	10:20
9:20 才壞掉（本題）	10:35
一開始就只有 4 口（最慢）	10:40

本題的答案必定介於 10:20 與 10:40 之間（因為前 20 分鐘有 5 口的優勢）。
你選的 10:40 剛好是「一開始就壞掉」的極端值 —— 用這個範圍檢查，馬上就知道不對。

要記住的觀念

先求「單一個體的效率」。1 個注水口 = 6 m³/分。有了這個數字，開幾個口都能立刻算。
中途改變條件 → 一定要分段。9:00～9:20 是 5 口、之後是 4 口，兩段速率不同必須分開算。
分段的標準流程：算第一段完成量 → 算剩餘量 → 用新速率算剩餘時間 → 加回時刻。
時刻加減要注意進位。9:20 + 75 分 = 9:20 + 1 小時 15 分 = 10:35（不是 9:95）。
先估出答案的合理範圍。本題必在 10:20 ～ 10:40 之間，落在端點就要懷疑自己算錯。
「9:20 時損壞」代表 9:20 之前都是好的。讀題時把時間點標在時間軸上，不要憑印象。

另一種算法：用「工作量份數」，完全不用算 m³

把整池水看成 1 池，5 個口 80 分鐘注滿 → 1 個口 1 分鐘注 1/400 池 （因為 5 × 80 = 400）。

・前 20 分鐘 5 口：20 × 5 × (1/400) = 100/400 = 1/4 池
・剩下 3/4 池，4 口每分鐘注 4/400 = 1/100 池 → (3/4) ÷ (1/100) = 75 分鐘同樣得到 75 分鐘 → 9:20 + 75 分 = 10:35 ✓

「5 口 × 80 分 = 400 個口·分」這種想法很好用：總工作量固定，開的口越多所需時間越少（成反比）。

類題自我檢測

1. 同一個泳池，若改成 9:40 才壞掉 1 個注水口，何時注滿？
2. 若 9:20 時壞了 2 個注水口（剩 3 個），何時注滿？

看解答

1. 前 40 分鐘 5 口：40 × 30 = 1200 m³；剩 1200 m³，4 口速率 24 → 1200 ÷ 24 = 50 分鐘。
9:40 + 50 分 = 10:30。
（壞得越晚完成越早：10:30 < 10:35 ✓ 合理）

2. 前 20 分鐘注 600 m³，剩 1800 m³；3 口速率 = 3 × 6 = 18 m³/分 → 1800 ÷ 18 = 100 分鐘。
9:20 + 100 分 = 9:20 + 1 小時 40 分 = 11:00。
（壞越多台完成越晚 ✓ 合理）

我的原始作答

草稿上有「80 分」和「5」，代表你已經算出正常情況要 80 分鐘、也注意到有 5 個注水口，基礎資料都抓對了。
斷點在於沒有把 9:00～9:20 這 20 分鐘單獨切出來。
強烈建議：這類題目先在草稿上畫一條時間軸，標上 9:00、9:20、以及「這裡開始只剩 4 口」，畫出來就會自然分成兩段，不會整段混在一起算。
另外，算完用「10:20（沒壞）～10:40（一開始就壞）」這個範圍檢查，答案剛好落在端點時就代表分段沒做對。

複習標記

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