扇形中的兩個正三角形：60° + 60° − 108° = 12°
題目
- (A) 2°
- (B) 8°
- (C) 12° ← 正確答案
- (D) 18° ← 我選的
錯在哪裡
先把所有等長的線段標出來。設扇形半徑 AB = AC = r：
・D 在扇形的弧上 → AD = r
・D 也在以 B 為圓心、半徑 AB 的弧上 → BD = r
・而 AB = r
AB = BD = AD = r → △ABD 是正三角形！ → ∠BAD = 60°
同理，△ACE 也是正三角形 → ∠CAE = 60°。
這兩個 60° 的角，都是從扇形的兩條半徑量進來的， 而扇形總共只有 108°。
60° + 60° = 120° > 108° 多出來的 12° 就是它們重疊的部分，也就是 ∠DAE。
沒有發現「三邊都等於 r」，就看不出正三角形，整題就無從下手。
正確解法
| 線段 | 為什麼等於 r |
|---|---|
| AB、AC | 扇形 BAC 的半徑 |
| AD、AE | D、E 在扇形的弧 BC 上 → 到圓心 A 的距離 = r |
| BD | 以 B 為圓心、AB(= r) 為半徑畫的弧經過 D |
| CE | 以 C 為圓心、AB(= r) 為半徑畫的弧經過 E |
△ABD：AB = BD = AD = r → 正三角形 → ∠BAD = 60° △ACE：AC = CE = AE = r → 正三角形 → ∠CAE = 60° 三邊都相等的三角形，三個角都是 60°。
∠BAD 是從 AB 量起的 60°；∠CAE 是從 AC 量起的 60°。
兩者都在 ∠BAC = 108° 的範圍內： ∠BAD + ∠CAE = 60° + 60° = 120° ∠BAC = 108° 多出來的部分就是重疊角 ∠DAE： ∠DAE = 120° − 108° = 12° 答案 (C) 12°。
用「逐段相加」驗算
從 AB 開始，把 108° 分成三段：
| 角 | 怎麼算 | 度數 |
|---|---|---|
| ∠BAD | 正三角形 ABD | 60° |
| ∠CAE | 正三角形 ACE | 60° |
| ∠BAE | 108° − 60°（= ∠BAC − ∠CAE） | 48° |
| ∠DAC | 108° − 60°（= ∠BAC − ∠BAD） | 48° |
| ∠DAE | 108° − 48° − 48° | 12° ✓ |
48° + 12° + 48° = 108° ✓ 三段加起來等於扇形的圓心角，答案就檢查完了。
D、E 的位置關係（為什麼會重疊）
如果圓心角改成 130°（大於 120°）： 130° − 60° − 60° = 10° 這時 ∠DAE = 10°，但 D、E 沒有重疊，中間是空隙。
兩種情況的算式長得很像，但幾何意義相反—— 畫個草圖確認 D、E 誰在左誰在右，是最保險的做法。
要記住的觀念
- 看到「以某點為圓心、某線段為半徑畫弧」→ 立刻找出所有等長線段。 這種敘述唯一的目的就是製造等長邊。
- 三邊相等 → 正三角形 → 三個角都是 60°。 這是本題的核心，也是幾何題最常見的隱藏條件。
- 在圓（扇形）裡，所有半徑都相等。 弧上任一點到圓心的距離都是 r —— D、E 在弧上，所以 AD = AE = r，這一步很多人會忽略。
- 兩個角度相加超過總角度 → 差額就是重疊部分。 重疊 = 兩角和 − 總角
- 把角度逐段標在圖上，最後加起來檢查等於總角。 48° + 12° + 48° = 108° ✓
- 幾何題一定要自己重畫一次圖並標上已知。 把四條 r 標出來，正三角形就會「自己跳出來」。
為什麼 △ABD 一定是正三角形？（完整推理）
① AB = r：AB 是扇形的半徑（題目給的）。
② AD = r：D 在扇形的弧 BC 上，弧上的點到圓心 A 的距離都等於半徑。
③ BD = r：題目說「以 B 為圓心、AB 為半徑畫弧，交弧 BC 於 D」，
所以 D 在這個弧上 → BD = AB = r。
三邊都是 r → △ABD 三邊相等 → 正三角形 → 三個內角都是 60°。
最容易漏掉的是第 ② 步：
很多人只注意到題目「以 B 為圓心畫弧」，
卻忘了 D 同時也在原本扇形的弧上，所以 AD 也等於 r。
一個點同時在兩條弧上時，它到兩個圓心的距離都要標出來。
類題自我檢測
1. 若 ∠BAC = 100°，其餘條件不變，∠DAE 是多少度？
2. 若 ∠BAC = 130°，∠DAE 是多少度？D、E 會重疊嗎？
3. 若 ∠BAC = 120°，D 和 E 的位置有什麼特別？
看解答
1. ∠DAE = 60° + 60° − 100° = 20°
（圓心角越小，重疊越多 ✓ 合理）
2. 130° − 60° − 60° = 10°
此時 D 和 E 沒有重疊，中間空出 10° 的縫隙。
算式的數字一樣要算，但幾何意義不同：這裡的 10° 是「空隙」不是「重疊」。
3. 60° + 60° = 120° = ∠BAC
D 和 E 剛好重合成同一個點！∠DAE = 0°。
這是分界情況：圓心角 < 120° 會重疊、= 120° 重合、> 120° 有空隙。
我的原始作答
作答欄填了 (D) 18°，紅筆訂正為 (C) 12°。
18° 可能來自 108 ÷ 6 或 (180 − 108)/4 之類的湊數，
代表當時沒有找到解題的切入點，只好從數字上猜。
這題的切入點只有一個：在圖上把「等於半徑 r」的線段全部標出來。
建議動筆做這個動作：
① 在 AB、AC 上各畫一道斜線（表示長度 r）
② D 在扇形弧上 → 在 AD 上也畫一道斜線
③ E 在扇形弧上 → 在 AE 上也畫一道斜線
④ 題目說以 B 為圓心、AB 為半徑 → 在 BD 上畫斜線
⑤ 同理在 CE 上畫斜線
畫完之後，△ABD 三邊都有斜線 → 正三角形 → 60°，一眼就看出來了。
「在圖上標記等長邊」是幾何題最重要的基本動作，
它把文字敘述變成看得見的資訊。
很多幾何題看起來無從下手，其實只是已知條件還停留在題目裡，沒有畫到圖上。
最後提醒：算出 12° 之後，用
48° + 12° + 48° = 108° 驗算一次，
三段加起來等於扇形圓心角，答案就百分之百確定了。
複習標記
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