中垂線的威力：PA = PC，一條式子就解完
題目
- (A) 5/2
- (B) 7/2 ← 正確答案
- (C) 3
- (D) 4
錯在哪裡
中垂線的核心性質： 中垂線上的任意一點，到線段兩端點的距離相等 P 在 AC 的中垂線上 → PA = PC。
接下來的關鍵動作：設 PD = x，把 PA 和 PC 都用 x 表示。
・PA = AD − PD = 16 − x（P 在 AD 上）
・PC：△PDC 是直角三角形（∠D = 90°），用勾股： PC² = PD² + DC² = x² + 12² 令 PA = PC，一條方程式就解出來了。
常見的走錯方向：
・去算 AC = 20、中點 O，然後想用相似三角形——可以做但繞遠路
・忘記 DC = AB = 12（矩形對邊相等），把 DC 當成 16
・算出 PA = 12.5 就當成答案（題目問的是 PD，不是 PA）
正確解法
解法一：用 PA = PC（最快，強烈推薦）
設 PD = x ・P 在 AD 上，AD = 16 → PA = 16 − x
・矩形對邊相等 → DC = AB = 12
在直角三角形 PDC 中（∠PDC = 90°）： PC² = PD² + DC² = x² + 144 因為 PA = PC，兩邊平方： (16 − x)² = x² + 144
256 − 32x + x² = x² + 144 x² 兩邊消掉（這就是為什麼這題其實是一次方程式）： 256 − 32x = 144 32x = 112 x = 112 ÷ 32 = 7/2 答案 (B) 7/2 = 3.5。
PD = 3.5 → PA = 16 − 3.5 = 12.5 PC = √(3.5² + 12²) = √(12.25 + 144) = √156.25 = 12.5 PA = PC = 12.5 ✓ 中垂線性質成立。
解法二：用座標（也很直觀）
AC 中點 O = (8, −6)，AC 斜率 = −12/16 = −3/4。
中垂線斜率 = 4/3（垂直兩線斜率相乘 = −1），過 O： y + 6 = (4/3)(x − 8) P 在 AD 上（y = 0）： 6 = (4/3)(x − 8) → x − 8 = 4.5 → x = 12.5 P = (12.5, 0) → PD = 16 − 12.5 = 3.5 ✓
兩種解法比較
| 解法一（PA = PC） | 解法二（座標） | |
|---|---|---|
| 需要的知識 | 中垂線性質 + 勾股 | 座標 + 斜率 + 直線方程式 |
| 計算量 | 3 行 | 6～7 行 |
| 容易錯的地方 | 幾乎沒有（x² 會消掉） | 斜率取負倒數、代入 |
| 推薦度 | ★★★ 考試首選 | ★★ 驗算或想不到性質時用 |
要記住的觀念
- 中垂線的定義性質：線上任一點到線段兩端等距。 P 在 AC 的中垂線上 ⟺ PA = PC 看到「中垂線」三個字，立刻寫下這個等式。
- 把「等距」的兩段各自用同一個未知數表示，就能列出方程式。 PA 用「全長減一段」表示、PC 用勾股定理表示。
- 矩形的對邊相等：DC = AB = 12、BC = AD = 16。 幾何題最常漏的就是這種「圖上沒標但一定成立」的長度。
- (16 − x)² = x² + 144 這種式子，x² 一定會消掉， 所以最後是解一次方程式，不會有兩個根。
- 算完要看題目問哪一段。 PA = 12.5 是中途結果，題目問的是 PD = 3.5。
- 驗算就用中垂線性質本身：算出 PA 和 PC 看是否相等。 12.5 = 12.5 ✓ 一秒確認。
順便算出 PQ 的長度（常見的延伸問法）
由對稱性，BQ = PD = 3.5、CQ = PA = 12.5。
（因為中垂線通過矩形中心，圖形對中心對稱。）
要算 PQ，可以作 P 到 BC 的垂線，垂足為 H：
PH = AB = 12
HQ = |PA 對應的水平位置 − Q 的位置| = 12.5 − 3.5 = 9
PQ = √(12² + 9²) = √(144 + 81) = √225 = 15
PQ = 15。（漂亮的 9-12-15 直角三角形，也就是 3-4-5 的 3 倍。）
另外：AC = √(12² + 16²) = 20（3-4-5 的 4 倍），
這題的數字都是精心設計過的，算出來都很整齊。
類題自我檢測
1. 若 AB = 6、AD = 10，PQ 為 AC 的中垂線交 AD 於 P，求 PD。
2. 承本題，求 △APC 的面積。
3. 若 P 是 AD 的中點（即 PD = 8），AC 的中垂線會通過 P 嗎？為什麼？
看解答
1. 設 PD = x，PA = 10 − x，DC = AB = 6
(10 − x)² = x² + 36
100 − 20x = 36 → 20x = 64 → x = 16/5 = 3.2
2. △APC 以 AP 為底、DC（= 12）為高：
面積 = (1/2) × 12.5 × 12 = 75
（高就是 C 到直線 AD 的距離 = DC = 12。）
3. 不會。若 P 是中點，PA = PD = 8，
則 PC = √(8² + 12²) = √208 ≈ 14.4 ≠ 8 = PA。
PA ≠ PC，所以 P 不在 AC 的中垂線上。
這說明中垂線和 AD 的交點並不是 AD 的中點——
不能憑直覺假設，一定要算。
我的原始作答
圖上標了 16、12，以及對角線兩側各標 10——
你正確算出了 AC = 20，所以 AO = OC = 10，
這代表你已經注意到中垂線通過 AC 的中點 O，方向是對的。
斷點在於：接下來想用「10」去建立相似三角形，但沒有走到底。
其實不需要用到 10。這題最短的路徑是直接用中垂線的另一個性質：
P 在中垂線上 → PA = PC
然後設 PD = x，兩段都用 x 表示：
給你的關鍵提醒：中垂線有兩個性質，要挑好用的那個。
① 過中點（你用的這個）→ 適合搭配相似三角形，但步驟較多
② 兩端等距（PA = PC）→ 直接列一條方程式，幾乎都比較快
看到「中垂線」時，先試性質 ②。 設一個未知數、把兩段距離都表示出來、令它們相等—— 這個套路在「中垂線交某邊求某段長」的題目幾乎百分之百適用。
最後別忘了：算出 PA = 12.5 之後，題目問的是 PD， 還要做 16 − 12.5 = 3.5 這一步。
複習標記
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