一線三垂直：兩個直角三角形一定全等
題目
- (A) 5
- (B) 6
- (C) 7 ← 正確答案
- (D) 8
這題在考什麼
模型的長相：一條直線上有三個直角—— ∠AEB = 90°、∠ABC = 90°、∠BFC = 90° 只要看到這個結構，就一定有兩個全等的直角三角形。
為什麼會全等？關鍵在角度的傳遞：
・∠ABE + ∠CBF = 90°（因為 ∠ABC = 90°，且 E、B、F 在同一直線上）
・∠ABE + ∠BAE = 90°（△ABE 的兩銳角互餘）
→ ∠BAE = ∠CBF 再加上 AB = BC（正方形的邊）和兩個直角，得 △ABE ≅ △BCF（AAS） 全等之後，對應邊就相等：BE = CF、AE = BF。
沒認出這個模型，就會不知道 BE 是多少，整題卡住。
正確解法
| 條件 | △ABE | △BCF | 理由 |
|---|---|---|---|
| 角 | ∠AEB = 90° | ∠BFC = 90° | AE ⊥ L、CF ⊥ L |
| 角 | ∠BAE | ∠CBF | 兩者都是 90° − ∠ABE |
| 邊 | AB = 13 | BC = 13 | 正方形的邊相等 |
| 結論 | △ABE ≅ △BCF（AAS） | ||
BE = CF = 5 AE = BF 注意對應關係別對錯：BE 對應的是 CF（不是 BF）。
在直角三角形 ABE 中： AE² = AB² − BE² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144 AE = 12 （5-12-13 是經典畢氏數，看到 5 和 13 就該想到 12。） → BF = AE = 12
E、B、F 三點都在直線 L 上，且 E 在 B 和 F 之間：
整理：這個模型的三個結論
| 線段 | 長度 | 怎麼來的 |
|---|---|---|
| BE | 5 | = CF（全等對應邊） |
| AE | 12 | √(13² − 5²)，勾股 |
| BF | 12 | = AE（全等對應邊） |
| EF | 7 | BF − BE = 12 − 5 |
一個好記的結論： EF = AE − CF = 12 − 5 = 7 也就是「兩條垂線段的差」。這在一線三垂直模型裡是通用的 （當兩個垂足在 B 的同一側時）。
要記住的觀念
- 一線三垂直模型：一直線上出現三個直角 → 必有兩個全等直角三角形。 這是國中幾何出現頻率最高的模型之一，一定要能一眼認出。
- 角度傳遞的關鍵推理： ∠ABE + ∠CBF = 90° 且 ∠ABE + ∠BAE = 90° → ∠BAE = ∠CBF（同角的餘角相等）
- 全等判別 AAS：兩角和其中一角的對邊對應相等。 本題用「直角 + 一銳角 + 斜邊」，也可以說是 AAS。
- 寫全等時，字母順序要對應：△ABE ≅ △BCF → A↔B、B↔C、E↔F，對應邊才不會找錯。
- 經典畢氏數 5-12-13 要背熟。 √(13² − 5²) = 12 背了就不用當場開根號。
- 算完要確認 E、F 的相對位置。 E 在 B、F 之間 → EF = BF − BE； 若在兩側 → EF = BF + BE。畫個草圖標上三點順序最保險。
這個模型的其他常見問法
① 求梯形 AEFC 的面積
AEFC 是梯形（AE // CF，都垂直於 L）：
面積 = (AE + CF) × EF ÷ 2 = (12 + 5) × 7 ÷ 2 = 59.5
② 證明 AE + CF = EF 嗎？
不對！本題是 AE − CF = EF（12 − 5 = 7）。
只有當 A、C 在直線 L 的兩側時，才會是 AE + CF = EF。
一定要看圖判斷。
③ 若題目改給 AE = 12、CF = 5，求正方形面積
BE = CF = 5、AE = 12 →
AB² = 5² + 12² = 169 → 正方形面積 = 169
這個模型的萬用起手式：把 BE = CF、BF = AE 這兩條先寫下來，
不管題目問什麼，答案都在這兩條裡面。
類題自我檢測
1. 若 AB = 10、CF = 6，求 EF。
2. 若 AE = 8、CF = 3，求正方形 ABCD 的面積與 EF。
3. 若 CF = 5、EF = 7，求 AB。
看解答
1. BE = CF = 6；AE = √(10² − 6²) = √64 = 8 → BF = 8
EF = 8 − 6 = 2
2. BE = CF = 3、BF = AE = 8
AB² = AE² + BE² = 64 + 9 = 73 → 正方形面積 = 73
EF = BF − BE = 8 − 3 = 5
3. BE = CF = 5，EF = BF − BE = 7 → BF = 12 → AE = 12
AB = √(AE² + BE²) = √(144 + 25) = √169 = 13
正好回到本題的數字 ✓
我的原始作答
這題的解題關鍵是認出「一線三垂直」模型，
只要認出來，接下來三步就結束了。
建議把這個模型的辨識特徵記牢：
① 有一條直線（本題的 L）
② 線上有三個點（E、B、F）
③ 三個直角：兩端各有一條垂線（AE ⊥ L、CF ⊥ L），
中間有一個直角（∠ABC = 90°，正方形的角）
④ 中間直角的兩邊相等（AB = BC，正方形的邊）
看到這四個特徵，立刻寫下：
△ABE ≅ △BCF → BE = CF、BF = AE
把這兩條寫在草稿上，題目就等於解完一半。
本題的完整流程：
BE = CF = 5
AE = √(13² − 5²) = 12（5-12-13 畢氏數）
BF = AE = 12
EF = BF − BE = 12 − 5 = 7
最後一步特別提醒：要看清楚 E 和 F 在 B 的同側還是兩側。
本題 E、F 都在 B 的右邊（同側）→ 用減法；
若在兩側就要用加法。
在草稿上把 B、E、F 三點依序畫在一條線上，並標出 5 和 12，
該加該減就一目了然了。
複習標記
看完這一頁順手標一下，紀錄會同步到總覽頁—— 標「有把握」的會被劃掉，標「有疑問」的會被標成琥珀色，可以用「只看有疑問的」單獨叫出來。 再按一次同一顆按鈕就取消。紀錄存在這台裝置的瀏覽器裡。