旋轉 90 度：不管 P 在哪，∠BCE 永遠是 45°
題目
- (A) 30
- (B) 45 ← 正確答案
- (C) 60 ← 我選的
- (D) 75
錯在哪裡
題目說「P 是 CD 邊上的一點（但不是 C 或 D 點）」—— 沒有給 P 的確切位置，卻要你求出一個確定的角度。
這代表答案跟 P 的位置無關！
選擇題最快的解法：既然與 P 無關，就自己挑一個最好算的位置。
例如取 P 為 CD 的中點，或直接用座標算一次—— 算出來的答案就是所有情況的答案。
另一個常見卡點：搞不清楚「以 P 為圓心順時針旋轉 90°」把 A 轉到哪裡。
旋轉的意思是：PE = PA 且 ∠APE = 90°， 也就是 △APE 是等腰直角三角形。 把這兩個條件寫下來，就有東西可以算了。
正確解法
解法一：用座標（最直接、不會錯）
設正方形邊長為 a： D = (0, 0)、C = (a, 0)、B = (a, a)、A = (0, a) P 在 CD 上：P = (p, 0)，其中 0 < p < a
向量 PA = A − P = (−p, a) 順時針旋轉 90° 的規則：(x, y) → (y, −x) 向量 PE = (a, p) E = P + (a, p) = (p + a, p)
向量 CE = E − C = (p + a − a, p − 0) = (p, p) 向量 CB = B − C = (0, a) 向量 CE = (p, p)，兩個分量相等 → 方向是「右上 45°」。
向量 CB = (0, a) → 方向是「正上方」，即 90°。 ∠BCE = 90° − 45° = 45° 答案 (B) 45。
這就是「答案與 P 的位置無關」的數學原因。
解法二：用具體數字驗證（考試時最快）
| 點 | 座標 | 怎麼來的 |
|---|---|---|
| D | (0, 0) | 設定 |
| C | (4, 0) | 設定 |
| B | (4, 4) | 設定 |
| A | (0, 4) | 設定 |
| P | (2, 0) | CD 中點 |
| E | (6, 2) | P + (4, 2) |
兩次都一樣，就能確定答案與 P 無關。
解法三：純幾何（全等三角形）
△APD ≅ △PEH（一線三垂直模型 + PA = PE）：
・∠ADP = ∠PHE = 90°
・∠DAP = ∠HPE（同為 90° − ∠APD）
・PA = PE（旋轉保長） → PH = AD = a，EH = PD = p 所以 CH = PH − PC = a − (a − p) = p EH = p CH = EH = p → △CHE 是等腰直角三角形 → ∠ECH = 45°
∠BCE = 180° − 90° − 45° = 45° （∠BCH 是平角減去 ∠BCD = 90°。）
結論的幾何意義
P 移動時，E 會沿著這條 45° 的射線滑動，但方向永遠不變。 這就是為什麼 ∠BCE 恆為 45°。
要記住的觀念
- 題目沒給某個點的確切位置，卻要求確定的答案 → 答案與該點位置無關。 這時直接挑一個最好算的位置代進去，是選擇題最快的解法。
- 「繞 P 旋轉 90°」翻成兩個條件： PE = PA（長度不變） ∠APE = 90°（轉了 90 度） 寫下這兩條，就有等腰直角三角形可以用。
- 座標中的旋轉公式（繞原點）： 逆時針 90°：(x, y) → (−y, x) 順時針 90°：(x, y) → (y, −x) 繞其他點旋轉：先減去該點、旋轉、再加回去。
- 向量 (p, p) 這種「兩分量相等」的方向就是 45°。 同理 (p, −p) 是 −45°、(0, p) 是 90°。
- 幾何題卡住時，設座標幾乎永遠可行。 正方形放在原點、邊長設成 a（或直接設 4），計算會很乾淨。
- 算出答案後換一組數字再驗一次。 P = 2 和 P = 1 都得 45°，就能確信答案正確。
為什麼旋轉是「順時針」很重要？
如果改成逆時針旋轉 90°：
(x, y) → (−y, x)
向量 PA = (−p, a) → 向量 PE = (−a, −p)
E = (p − a, −p)
這時 E 會跑到正方形的左下方（x 座標為負、y 座標為負），
而不是題目圖中的右側。
結果完全不同，而且 E 不會交 BC 於 F。
所以讀題時「順時針／逆時針」一定要看清楚，
而且要對照圖形確認方向對不對——
本題圖中 E 在正方形右外側，符合順時針的結果 ✓
小技巧：算完先看 E 的位置和圖上畫的一不一樣，
不一樣就代表旋轉方向搞反了。
類題自我檢測
1. 若正方形邊長為 6、P 為 CD 的中點，求 CE 的長度。
2. 若把旋轉角改成 順時針 180°，E 會在哪裡？∠BCE 是多少？
3. 若 P 越靠近 C 點，E 會怎麼移動？∠BCE 會改變嗎？
看解答
1. D=(0,0)、C=(6,0)、A=(0,6)、P=(3,0)
向量 PA = (−3, 6) → 順時針 90° → (6, 3) → E = (9, 3)
向量 CE = (3, 3) →
CE = √(3² + 3²) = 3√2
2. 旋轉 180°：向量 PE = −向量 PA = (p, −a) → E = (2p, −a)
E 在 CD 的下方。向量 CE = (2p − a, −a)，
方向會隨 p 改變 → ∠BCE 不固定。
只有 90° 旋轉才會產生「角度固定」的漂亮結果。
3. P 越靠近 C（p → a），E = (p + a, p) 會越靠近 (2a, a)，
也就是沿著 45° 射線往外滑。
∠BCE 永遠是 45°，完全不變 ✓
（這正是本題的核心結論。）
我的原始作答
作答欄填了 (C) 60，紅筆訂正為 (B) 45。
60° 在正方形的題目裡幾乎不會出現（正方形只會產生 90°、45° 及其組合），
這是一個可以用來自我檢查的直覺：
看到答案是 30、60 這類「正三角形的角度」，
要先問自己「題目裡有正三角形嗎？」——本題沒有，那就該懷疑。
這題最重要的解題策略是：發現「P 的位置沒有給定」。
題目寫「P 是 CD 邊上的一點（但不是 C 或 D 點）」，
卻要求出確定的角度 ——
這代表答案與 P 無關，那就自己挑一個好算的 P！
建議的快速做法（考試時 1 分鐘可以完成）：
① 設正方形邊長 4，D(0,0)、C(4,0)、B(4,4)、A(0,4)
② 取 P 為中點 (2, 0)
③ 向量 PA = (−2, 4)，順時針轉 90° → (4, 2) → E = (6, 2)
④ 向量 CE = (2, 2) → 45° 方向
⑤ 換 P = (1, 0) 再算一次 → CE = (1, 1) → 還是 45° ✓
兩個要記住的技巧：
・「位置任意但答案唯一」→ 代特例，這是選擇題的萬用招
・「繞某點旋轉 90°」→ 先寫下 PE = PA 和 ∠APE = 90°，
再用座標或全等三角形去算
旋轉是第 4 冊的重點單元，
把「順時針 (x,y)→(y,−x)、逆時針 (x,y)→(−y,x)」這兩個公式背起來，
配合座標法，這類題目就能穩定拿分。
複習標記
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