錯題解析

旋轉後的等腰三角形：先把旋轉角求出來

數學．第 4 冊．2026/07/26．第 10 題　|　主題：旋轉．等腰三角形．三角形內角和（名校題）

題目

如右圖，△ABC 中，∠ACB = 90°，∠ABC = 56°，今以 A 為中心，將 △ABC 依逆時針方向旋轉，使得 B、C 分別旋轉至 B'、C'，連接 CC' 並與 AB' 交於 P 點。若 ∠CAP = 20°，則 ∠1（即 ∠APC）= ？

(A) 86°
(B) 90°
(C) 94°　←　我選的
(D) 97°　←　正確答案

我的答案：(C) 94°旋轉角沒算出來

正確答案：(D) 97°旋轉角 54° → ∠ACC' = 63° → ∠1 = 97°

錯在哪裡

這題有一條固定的解題鏈，斷在哪一環都算不出來：

   ∠BAC = 34°
        ↓（配合 ∠CAP = 20°）
   旋轉角 θ = ∠BAB' = ∠CAC' = 54°
        ↓（AC = AC' 是等腰三角形）
   ∠ACC' = (180° − 54°) ÷ 2 = 63°
        ↓（△APC 內角和）
   ∠1 = 180° − 20° − 63° = 97°
      

最關鍵、也最常漏的一步是「求出旋轉角 θ」。

題目沒有直接告訴你轉了幾度，而是給了 ∠CAP = 20°。因為 P 在 AB' 上，所以 ∠CAB' = 20°，再配合 ∠BAC = 90° − 56° = 34°，就能推出 θ = ∠BAB' = ∠BAC + ∠CAB' = 34° + 20° = 54°

第二個關鍵：AC = AC'（旋轉保長）→ △ACC' 是等腰三角形。
有了旋轉角 54° 當頂角，兩個底角就是 (180° − 54°) ÷ 2 = 63°。
「旋轉產生等腰三角形」是這個單元最核心的性質。

正確解法

Step 1　先求原三角形的 ∠BAC
△ABC 中，∠ACB = 90°、∠ABC = 56°： ∠BAC = 180° − 90° − 56° = 34°

Step 2　求旋轉角 θ
P 在 AB' 上，所以 ∠CAP 就是 ∠CAB' = 20°。
旋轉時 AB 轉到 AB'，轉過的角度為 θ = ∠BAB' = ∠BAC + ∠CAB' = 34° + 20° = 54° 旋轉角對每一條邊都一樣，所以也有 ∠CAC' = θ = 54°

Step 3　△ACC' 是等腰三角形
旋轉不改變長度： AC = AC' 所以 △ACC' 是頂角為 54° 的等腰三角形，兩底角相等： ∠ACC' = ∠AC'C = (180° − 54°) ÷ 2 = 126° ÷ 2 = 63°

Step 4　在 △APC 中用內角和
△APC 的三個角：
・∠PAC = 20°（題目給的）
・∠ACP = ∠ACC' = 63°（P 在 CC' 上，所以 ∠ACP 就是 ∠ACC'）
・∠APC = ∠1 ∠1 = 180° − 20° − 63° = 97° 答案 (D) 97°。

把所有角度整理成一張表

角	度數	怎麼來的
∠ACB	90°	題目給
∠ABC	56°	題目給
∠BAC	34°	180° − 90° − 56°
∠CAP（= ∠CAB'）	20°	題目給
旋轉角 θ	54°	34° + 20°
∠ACC'（= ∠ACP）	63°	(180° − 54°) ÷ 2，等腰
∠1（= ∠APC）	97°	180° − 20° − 63°

一個更快的公式（記起來很好用）

在 △APC 中： ∠1 = 180° − ∠PAC − ∠ACC' = 180° − ∠PAC − (90° − θ/2) = 90° + θ/2 − ∠PAC 代入 θ = 54°、∠PAC = 20°： ∠1 = 90° + 27° − 20° = 97° ✓ 核心是「等腰三角形的底角 = 90° − 頂角的一半」，這個關係在旋轉題會一直出現。

要記住的觀念

旋轉的三個不變性質： ① 長度不變（AC = AC'、AB = AB'） ② 角度不變（∠B'A C' = ∠BAC） ③ 每條邊轉過的角度都等於旋轉角 θ
「旋轉中心 A 到對應點的距離相等」→ △ACC' 是等腰三角形。 這是旋轉題最常用的性質，看到旋轉就要立刻想到。
等腰三角形的底角公式： 底角 = (180° − 頂角) ÷ 2 = 90° − 頂角/2
旋轉角常常要自己推出來，題目很少直接給。本題是用 ∠CAB' = ∠BAC + 旋轉角？還是相減？ 要看圖判斷 B' 落在 AC 的哪一側。
P 在 AB' 上 → ∠CAP = ∠CAB'；P 在 CC' 上 → ∠ACP = ∠ACC'。 「同一條直線上的角相等」是把已知傳遞到目標的橋樑。
最後用三角形內角和 180° 收尾。 幾何求角的題目，九成以上最後一步是內角和或外角定理。

怎麼判斷旋轉角是「相加」還是「相減」？

看 B'（或 C'）落在原三角形的哪一側。

本題是逆時針旋轉，且 ∠CAB' = 20°：
・若 B' 轉過了 AC（即 B' 在 AC 的另一側）： θ = ∠BAC + ∠CAB' = 34° + 20° = 54° ・若 B' 還沒轉過 AC（在 AB 和 AC 之間）： θ = ∠BAC − ∠CAB' = 34° − 20° = 14°

從圖上看，B' 在 C 的另一側（右下方），代表已經轉過了 AC → 用相加 ✓

驗證方法：算完之後檢查答案是否落在選項裡。 若 θ = 14°，則 ∠ACC' = 83°，∠1 = 180 − 20 − 83 = 77°， 不在選項中 → 代表這個假設錯了，應該用相加。

「算出來不在選項裡」是很有用的訊號，表示前面某個判斷（通常是加減方向）要換一個試。

類題自我檢測

1. 若 ∠CAP 改為 26°，其餘不變，∠1 是多少度？
2. 若旋轉角 θ = 60°，則 △ACC' 是什麼三角形？∠ACC' 是多少？
3. 若 ∠ABC 改為 50°、∠CAP = 20°，求旋轉角與 ∠1。

看解答

1. θ = 34° + 26° = 60° → ∠ACC' = (180 − 60)/2 = 60° ∠1 = 180° − 26° − 60° = 94° （這正好是原題的陷阱選項 (C)！可見 (C) 是「旋轉角算成 60°」的結果。）

2. θ = 60° 且 AC = AC' → 頂角 60° 的等腰三角形 = 正三角形
∠ACC' = 60°

3. ∠BAC = 180 − 90 − 50 = 40°
θ = 40° + 20° = 60° → ∠ACC' = (180 − 60)/2 = 60° ∠1 = 180° − 20° − 60° = 100°

我的原始作答

作答欄填了 (C) 94°，紅筆訂正為 (D) 97°。
由上面的類題可以看出，94° 對應的是「旋轉角 = 60°」的情況—— 代表你的解題流程其實是對的（等腰三角形、內角和都用對了）， 只是旋轉角算成了 60° 而不是 54°。

旋轉角的正確算法： θ = ∠BAC + ∠CAB' = 34° + 20° = 54° 其中 ∠BAC = 180° − 90° − 56° = 34°。
如果把 ∠BAC 算成 40°（例如把 56° 記成 50°），就會得到 60°，答案剛好是 94°。

建議的防錯流程：把角度依序標在圖上，每算出一個就寫上去。
　① 先在 △ABC 裡標：90°、56°、34°
　② 標出題目給的 ∠CAP = 20°
　③ 算出旋轉角 θ = 34° + 20° = 54°，標在 ∠BAB' 和 ∠CAC' 兩處
　④ 由 AC = AC' 標出 △ACC' 的兩底角 63°
　⑤ 在 △APC 用內角和求 ∠1 = 97°

「一步一標」的好處是每個數字都看得見，不會在腦中把 34 和 40 記混。

最後強調本題的核心觀念：旋轉 → AC = AC' → 等腰三角形。 這是旋轉單元的萬用起手式，只要看到「以某點為中心旋轉」，就先把 「旋轉中心到對應點等距」這件事畫在圖上，等腰三角形一出現，角度就能一路算下去了。

複習標記

看完這一頁順手標一下，紀錄會同步到總覽頁—— 標「有把握」的會被劃掉，標「有疑問」的會被標成琥珀色，可以用「只看有疑問的」單獨叫出來。再按一次同一顆按鈕就取消。紀錄存在這台裝置的瀏覽器裡。

還沒標記