坐標上的正方形：只有一個選項讓 AB = 5
題目
- (A) (2, 2) ← 正確答案
- (B) (2, 3) ← 我選的
- (C) (3, 3)
- (D) (3, 4)
錯在哪裡
題目已經給了兩個非常強的條件：
・A = (−1, −2)
・AB = 5
只要把四個選項各算一次 A 到 B 的距離，只有一個會等於 5。
兩點距離公式： AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] 檢查 (A) (2, 2)： 水平差 = 2 − (−1) = 3 鉛直差 = 2 − (−2) = 4 距離 = √(3² + 4²) = √25 = 5 ✓ 經典的 3-4-5 直角三角形！
你選的 (B) (2, 3)： 水平差 3、鉛直差 5 → √(9 + 25) = √34 ≈ 5.83 ✗ 距離不是 5，所以不可能。
「全等」的條件是用來確定正方形的擺法（方向）， 但因為只有一個選項的距離對，其實不必用到它就能選出答案。
正確解法
| 選項 B | 水平差 Δx | 鉛直差 Δy | AB² = Δx² + Δy² | AB | = 5 嗎 |
|---|---|---|---|---|---|
| (A) (2, 2) | 2−(−1) = 3 | 2−(−2) = 4 | 9 + 16 = 25 | 5 | ✓ |
| (B) (2, 3) | 3 | 5 | 9 + 25 = 34 | √34 ≈ 5.83 | ✗ |
| (C) (3, 3) | 4 | 5 | 16 + 25 = 41 | √41 ≈ 6.40 | ✗ |
| (D) (3, 4) | 4 | 6 | 16 + 36 = 52 | √52 ≈ 7.21 | ✗ |
只有 (A) 的距離等於 5 → 答案 (A)。 這一步只要一分鐘，而且百分之百確定。
A = (−1, −2)，B = (2, 2) → 向量 AB = (3, 4) 正方形的下一條邊 AD 要垂直 AB，把向量旋轉 90°： (3, 4) 逆時針轉 90° → (−4, 3) D = A + (−4, 3) = (−5, 1) C = B + (−4, 3) = (−2, 5) 對照圖形：D 在左、C 在上 ✓ 與圖一致。
| 交點 | 在哪條邊上 | 坐標 | 到頂點的距離 |
|---|---|---|---|
| E | AB 交 x 軸 | (0.5, 0) | AE = 2.5 |
| F | AD 交 x 軸 | (−11/3, 0) | AF = 10/3 |
| G | BC 交 y 軸 | (0, 3.5) | BG = 2.5 |
| H | BA 交 y 軸 | (0, −2/3) | BH = 10/3 |
為什麼答案剛好是 3-4-5？
要讓兩個整數的平方和等於 25，只有： 3² + 4² = 25 或 0² + 5² = 25 命題老師一定會用 3-4-5 這組，因為 (0, 5) 會讓正方形的邊平行於坐標軸， 就不會有「交 x 軸於兩點、交 y 軸於兩點」的傾斜情形了。
看到「整數坐標 + 距離 5」，直接想 3-4-5。
要記住的觀念
- 兩點距離公式： d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] 本質就是勾股定理：水平差當一股、鉛直差當另一股。
- 坐標相減時小心負號： 2 − (−1) = 3（不是 1） 2 − (−2) = 4（不是 0） 減負數等於加正數，這是本題最容易手滑的地方。
- 整數坐標 + 距離 5 → 想 3-4-5；距離 13 → 想 5-12-13；距離 10 → 想 6-8-10。
- 選擇題先用最簡單的條件篩選。 本題「AB = 5」比「三角形全等」好用一百倍，一分鐘就能選出答案。
- 向量旋轉 90°：(x, y) → (−y, x)（逆時針）或 (y, −x)（順時針）。 用來從一條邊求正方形的其他頂點。
- 算完可以對照圖形檢查：算出 D 在左、C 在上， 和題目的圖一致，就更確定沒錯。
「全等」這個條件到底是做什麼用的？
它其實是用來確定正方形的「傾斜方向」的。
如果沒有這個條件，正方形可以繞著 A 點旋轉到很多位置，
B 點會有無限多種可能（只要距離 A 是 5 就好）。
「△AEF ≅ △BGH」要求：
・A 到 x 軸兩個交點的距離組合，
・要等於 B 到 y 軸兩個交點的距離組合
這在幾何上等價於「正方形相對於兩軸是對稱擺放的」，
也就是我們算出來的 (2, 2)。
不過在選擇題裡，因為選項只有四個且只有一個距離對，
所以用不到這個條件——
這也提醒我們：題目給的條件不一定每個都要用，
選擇題挑最快的那個用就好。（非選題就要完整用上了。）
類題自我檢測
1. 若 A = (−1, −2)、AB = 13，且 B 為整數坐標，B 有哪些可能？
2. 承本題，求 C、D 兩點坐標，並算出正方形 ABCD 的面積。
3. 求 A(−1, −2) 到 C(−2, 5) 的距離（即正方形的對角線長）。
看解答
1. 13² = 169 = 5² + 12²，所以 Δx、Δy 是 ±5、±12（或 ±12、±5）
B 可能是 (4, 10)、(11, 3)、(−6, 10)、(−13, 3)…… 共 8 種
（四個象限方向各兩種）。
2. 由上面的計算：C = (−2, 5)、D = (−5, 1)
面積 = 邊長² = 5² = 25
3. Δx = −2 − (−1) = −1，Δy = 5 − (−2) = 7
AC = √((−1)² + 7²) = √50 = 5√2
驗證：正方形對角線 = 邊長 × √2 = 5√2 ✓
這個檢查很好用——算出 C 之後，
用「對角線 = 邊長 × √2」驗一次，就能確定 C 的坐標沒算錯。
我的原始作答
作答欄填了 (B) (2, 3)，紅筆訂正為 (A) (2, 2)。
圖旁邊你有寫下 (−1, −2)，代表你有把 A 的坐標標到圖上，
這個習慣很好。
斷點在於沒有把「AB = 5」拿去驗算四個選項——
這題只要做四次距離計算就能確定答案，而且完全不會錯。
建議固定成這個流程：
① 把已知點標到圖上（你已經做了 ✓）
② 看到「某段長度 = 某數」，立刻拿去檢查所有選項
③ 距離公式寫成表格，一行一個選項：
特別提醒坐標相減的負號：
Δx = 2 − (−1) = 3（不是 1）
Δy = 2 − (−2) = 4（不是 0）
「減負數等於加正數」——在坐標題裡這是最常見的計算失誤。 建議把括號寫出來：2 − (−1)，不要直接心算。
最後記住這個直覺：坐標題出現距離 5，幾乎一定是 3-4-5。 看到 A = (−1, −2)，就先想「往右 3、往上 4 會到 (2, 2)」， 答案往往一眼就找到了。
複習標記
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