房子是不是直角：18-24-30 就是 3-4-5 的六倍
題目
(1) 請問牆角 ABC 是否為直角？請完整說明你的理由。
(2) 已知某款耐磨木地板完工價是每坪 4000 元， 若泰德打算將此屋鋪滿此款耐磨木地板，則所需價格為多少元？ 請寫出完整的解題過程。（1 平方公尺 = 0.3025 坪）
錯在哪裡
第 (1) 段：要用「畢氏逆定理」而不是畢氏定理。
畢氏定理是「已知直角 → 算邊長」；
逆定理是「已知三邊 → 判斷是不是直角」。
本題要證明的是後者，所以要寫成 18² + 24² = 324 + 576 = 900 = 30² 「兩短邊平方和 = 最長邊平方 → 是直角三角形」，這句話一定要寫出來。
第 (2) 段：屋子由「兩個三角形」組成，兩塊都要算。
對角線 AC 把屋子切成 △ABC 和 △ACD，只算一塊就會少一半面積。
第 (3) 段：單位換算不能漏。
面積算出來是平方公尺，但價錢是每坪—— 必須先乘 0.3025 換成坪，再乘 4000。 少了這一步，答案會大很多倍。
正確解法
第 (1) 小題：∠ABC 是不是直角？
三邊：AB = 18、BC = 24、AC = 30，最長邊是 AC = 30。 AB² + BC² = 18² + 24² = 324 + 576 = 900 AC² = 30² = 900 AB² + BC² = AC² ✓ 由畢氏逆定理，△ABC 是直角三角形，且直角在 AC 的對角， 也就是 ∠ABC = 90°。
答：牆角 ABC 是直角。
其實一眼就能看出來：18-24-30 = 3-4-5 的 6 倍
18 = 3 × 6 24 = 4 × 6 30 = 5 × 6
3-4-5 直角三角形的每邊同乘 6，仍然是直角三角形。
常見的 3-4-5 倍數組合：
3-4-5、6-8-10、9-12-15、12-16-20、15-20-25、18-24-30、21-28-35、30-40-50
看到這些數字組合，直接判定為直角三角形，
但非選題還是要把 18² + 24² = 30² 寫出來才有分數。
第 (2) 小題：鋪地板要多少錢？
對角線 AC 把四邊形 ABCD 分成 △ABC 和 △ACD，分別算面積再相加。
因為 ∠ABC = 90°，兩股就是 AB 和 BC： △ABC 面積 = (1/2) × 18 × 24 = 216（平方公尺） 第 (1) 小題證出直角，在這裡直接派上用場——這就是命題的用意。
AD = DC = 25，底 AC = 30 → 等腰三角形。
作 D 到 AC 的高 DM，等腰三角形的高會平分底邊： AM = MC = 30 ÷ 2 = 15 用勾股定理求高： DM = √(25² − 15²) = √(625 − 225) = √400 = 20 （15-20-25 又是 3-4-5 的 5 倍！） △ACD 面積 = (1/2) × 30 × 20 = 300（平方公尺）
216 + 300 = 516（平方公尺）
516 × 0.3025 = 156.09（坪）
156.09 × 4000 = 624360（元） 答：所需價格為 624360 元。
計算流程整理
| 步驟 | 計算 | 結果 |
|---|---|---|
| △ABC（直角三角形） | 18 × 24 ÷ 2 | 216 m² |
| △ACD 的高 | √(25² − 15²) | 20 m |
| △ACD（等腰三角形） | 30 × 20 ÷ 2 | 300 m² |
| 總面積 | 216 + 300 | 516 m² |
| 換算成坪 | 516 × 0.3025 | 156.09 坪 |
| 總價 | 156.09 × 4000 | 624360 元 |
要記住的觀念
- 畢氏逆定理：若 a² + b² = c²（c 為最長邊），則此三角形為直角三角形， 且直角在 c 的對角。 「判斷是不是直角」用逆定理，「已知直角求邊長」用畢氏定理。
- 3-4-5 的倍數組合要背熟：6-8-10、9-12-15、15-20-25、18-24-30。 看到就知道是直角三角形。
- 等腰三角形的高會平分底邊， 所以可以把它切成兩個全等的直角三角形來算高。
- 不規則的多邊形，用對角線切成三角形分別算。 切完要檢查有沒有漏算某一塊。
- 單位換算是素養題的必考點。 面積是平方公尺、價格是每坪 → 必須先乘 0.3025。
- 非選題要把「判斷理由」寫出來。 光寫「是直角」沒有分，要寫「因為 18² + 24² = 900 = 30²， 由畢氏逆定理知 ∠ABC = 90°」。
另一種算 △ACD 的方法：海龍公式
三邊 a = 25、b = 25、c = 30，半周長
s = (25 + 25 + 30) ÷ 2 = 40
面積 = √[s(s−a)(s−b)(s−c)]
= √[40 × 15 × 15 × 10] = √90000 = 300 ✓
結果一樣，但海龍公式的數字比較大。
本題因為是等腰三角形，用「高平分底邊 + 勾股」更快：
15-20-25 是熟悉的畢氏數，心算就能得到高 = 20。
選擇用哪個方法的原則：
・等腰三角形 → 作高（快）
・三邊都不一樣 → 海龍公式
・直角三角形 → 兩股相乘除以 2（最快）
類題自我檢測
1. 若三邊為 20、21、29，是不是直角三角形？
2. 若地板改成每坪 3500 元，總價是多少？
3. 若屋子總面積為 400 平方公尺，換算成坪是多少？（四捨五入到整數）
看解答
1. 最長邊 29：
20² + 21² = 400 + 441 = 841
29² = 841 ✓
是直角三角形（20-21-29 也是一組畢氏數）。
2. 156.09 × 3500 = 546315（元）
3. 400 × 0.3025 = 121（坪）
（剛好整數，很好記：約 3.3 平方公尺 = 1 坪。）
我的原始作答
卷面上寫了 624360，最終答案完全正確 ✓
圖上也標出了 30（對角線）、20（高）、15（底邊一半）、25——
代表兩個三角形的面積你都算對了，這題的數學部分掌握得很好。
這是非選題，「請完整說明理由」「請寫出完整的解題過程」，
所以要特別注意過程的完整性。建議這樣寫：
(1) △ABC 中，三邊為 18、24、30，最長邊為 30
18² + 24² = 324 + 576 = 900
30² = 900
∵ AB² + BC² = AC²，由畢氏逆定理知 △ABC 為直角三角形
∴ ∠ABC = 90°，牆角 ABC 是直角
(2) △ABC 面積 = (1/2) × 18 × 24 = 216（平方公尺）
△ACD 為等腰三角形（AD = DC = 25），作高 DM 平分 AC
AM = 15，DM = √(25² − 15²) = 20
△ACD 面積 = (1/2) × 30 × 20 = 300（平方公尺）
總面積 = 216 + 300 = 516（平方公尺）
換算成坪：516 × 0.3025 = 156.09（坪）
總價 = 156.09 × 4000 = 624360（元）
三個最主要的給分點：
① 寫出「由畢氏逆定理」這五個字——證明你知道用的是哪個定理
② 把兩個三角形的面積分開列出（216、300）
③ 寫出單位換算 516 × 0.3025——這是素養題的必考步驟
你的計算能力沒有問題，要補的是「把腦中的步驟寫在紙上」。
非選題的分數大部分給在過程，
就算最後乘錯一個數字，前面的步驟分照樣拿得到。
複習標記
看完這一頁順手標一下，紀錄會同步到總覽頁—— 標「有把握」的會被劃掉，標「有疑問」的會被標成琥珀色，可以用「只看有疑問的」單獨叫出來。 再按一次同一顆按鈕就取消。紀錄存在這台裝置的瀏覽器裡。