掃地機器人走出正六邊形：外角 60° → 360 ÷ 60 = 6
題目
步驟(1)：每直行 40 公分，立即左轉 60°，接著繼續直行 40 公分， 再左轉 60°，如圖(一)所示。
步驟(2)：繞行完整一圈（即回到起點）後，沿相同方向倒退 20 公分， 接著繼續直行 40 公分並立即左轉 60°，接著繼續重複步驟(1)，如圖(二)所示。
假設不考慮機器人的大小，視每一小段行走軌跡為直線，且行走過程中沒有遇到任何阻礙。 請根據上述資訊，回答下列問題，並寫出完整的解題過程：
(1) 若此掃地機器人繞行完整一圈後，其行徑軌跡為一正 n 邊形，則 n 值為何？
(2) 請問此掃地機器人繞行第一圈與第二圈所產生的兩個正多邊形， 其重疊的區域占一個正多邊形面積的幾分之幾？
錯在哪裡
想像自己在走路：直行一段後轉身 60° 再繼續走—— 你轉的是「行進方向改變的角度」，這就是外角。
走完一整圈回到起點，代表方向總共轉了 360°： n × 60° = 360° → n = 6 正六邊形 ✓
（如果誤把 60° 當內角，會算成 n = 360/(180−60) = 3，得到正三角形，就錯了。）
第 (2) 小題的關鍵：第二圈是第一圈「平移 20 公分」的結果。
機器人回到起點後倒退 20 公分（等於邊長 40 的一半）， 再重複同樣的走法—— 所以第二個正六邊形和第一個完全一樣，只是沿著一條邊的方向平移了半個邊長。
要算兩個「平移了半個邊長」的正六邊形重疊多少， 最好的方法是把正六邊形切成一堆小正三角形來數。
正確解法
第 (1) 小題
機器人每走完一邊就轉 60°，這是行進方向的改變量，即外角。
任何凸多邊形的外角和都是 360°（走完一圈剛好轉回原方向）： n × 60° = 360° n = 360 ÷ 60 = 6 答：n = 6，行徑軌跡為正六邊形。
驗證：正六邊形的內角是幾度？
內角 = 180° − 外角 = 180° − 60° = 120° 用內角和公式驗證： (6 − 2) × 180° = 720° → 720° ÷ 6 = 120° ✓ 兩種算法一致，確定是正六邊形。
第 (2) 小題
機器人回到起點後倒退 20 公分（= 邊長 40 的一半），再重複同樣的動作。
→ 第二個正六邊形 = 第一個沿著某條邊的方向平移「半個邊長」
邊長 40 的正六邊形，可以先切成 6 個邊長 40 的正三角形；
每個正三角形再切成 4 個邊長 20 的小正三角形： 全部 = 6 × 4 = 24 個小正三角形 因為平移距離剛好是 20（小三角形的邊長）， 平移後的圖形會和原本的網格「對齊」，就可以直接數格子。
平移半個邊長後，兩個六邊形的重疊區域正好是 16 個小正三角形： 重疊比例 = 16 / 24 = 2/3 答：重疊區域占一個正六邊形面積的 2/3。
用面積直接驗算
| 項目 | 小三角形個數 | 占比 |
|---|---|---|
| 一個完整的正六邊形 | 24 | 1 |
| 兩者重疊區域 | 16 | 16/24 = 2/3 |
| 第一圈獨有的部分 | 8 | 1/3 |
| 第二圈獨有的部分 | 8 | 1/3 |
| 兩圈聯集的總面積 | 32 | 4/3 |
檢查：重疊 + 兩邊各自獨有 = 16 + 8 + 8 = 32 = 聯集 ✓
而且 16 + 8 = 24（一個完整六邊形）✓ 兩邊都對得起來。
為什麼平移「半個邊長」會剩 2/3？
平移的方向是沿著一條邊，距離是邊長的一半（20/40 = 1/2）。
平移得越多，重疊越少：
・平移 0 → 完全重疊（100%）
・平移半個邊長 → 重疊 2/3
・平移一整個邊長 → 重疊會更少
・平移到超過六邊形的寬度 → 完全不重疊（0%）
2/3 這個數字是「切成 24 格、重疊 16 格」數出來的， 這也是為什麼要先把六邊形切成小三角形—— 切成格子之後，面積比例就變成「數格子」，不需要任何複雜計算。
要記住的觀念
- 「走一段、轉一個角」的行進路線，轉的角度是「外角」。 正 n 邊形的外角 = 360° ÷ n n = 360° ÷ 外角
- 任何凸多邊形的外角和恆為 360°（不論幾邊形）， 這是解這類「走路畫多邊形」題目的唯一公式。
- 內角 + 外角 = 180°。 正六邊形：外角 60°、內角 120°。
- 正六邊形可以切成 6 個正三角形（連接中心與各頂點）， 再細分成 24 個邊長一半的小正三角形。 算面積比例時，切格子數格子是最可靠的方法。
- 「倒退 20 公分再重複」= 整個圖形平移 20 公分。 平移不改變形狀和大小，只改變位置。
- 面積比例題要檢查：重疊 + 各自獨有 = 聯集。 16 + 8 + 8 = 32 ✓ 這個檢查能抓出數錯格子的錯誤。
正多邊形外角表（背起來很省時間）
| 正 n 邊形 | 外角 | 內角 |
|---|---|---|
| 正三角形 | 120° | 60° |
| 正方形 | 90° | 90° |
| 正五邊形 | 72° | 108° |
| 正六邊形 | 60° | 120° |
| 正八邊形 | 45° | 135° |
| 正十邊形 | 36° | 144° |
| 正十二邊形 | 30° | 150° |
記法：外角 = 360 ÷ n，所以邊數越多、外角越小
（轉的幅度越小，圖形越接近圓）。
反過來：看到轉 45° 就知道是正八邊形、轉 72° 就是正五邊形。
類題自我檢測
1. 若機器人改成每次左轉 45°，繞完一圈的軌跡是正幾邊形？
2. 若機器人改成倒退 40 公分（一整個邊長）再重複，兩個六邊形還會重疊嗎？
3. 正六邊形的邊長 40 公分，它的面積是多少？（用 √3 表示）
看解答
1. n = 360 ÷ 45 = 8
正八邊形。
2. 平移一整個邊長（40 公分）時，兩個六邊形仍會重疊，
但重疊面積比 2/3 小很多。
用切格子想：平移 40 = 2 個小三角形邊長，重疊會少掉更多格。
關鍵直覺：平移距離越大，重疊越少。
3. 正六邊形 = 6 個邊長 40 的正三角形
正三角形面積 = (√3/4) × 邊長² = (√3/4) × 1600 = 400√3
正六邊形面積 = 6 × 400√3 = 2400√3（平方公分）
我的原始作答
卷面上：
(1) 寫了 n = 360 ÷ 60 = 6 ——完全正確 ✓
而且用的正是「外角和 360°」這個關鍵公式
(2) 寫了 2/3 ——答案也正確 ✓
兩小題的答案都對，這題要補強的是「過程的完整度」。
題目明確要求「寫出完整的解題過程」，
而第 (2) 小題只寫答案通常拿不到全部分數。
建議第 (2) 小題這樣寫：
① 說明兩個六邊形的關係：
因為機器人倒退 20 公分（= 邊長 40 的一半）後重複相同路徑，
所以第二個正六邊形是第一個沿邊方向平移 20 公分的結果
② 切格子：
將邊長 40 的正六邊形切成 6 個正三角形，
每個再切成 4 個邊長 20 的小正三角形 → 共 24 個
③ 數重疊格數：
平移 20 公分後，重疊區域恰為 16 個小正三角形
④ 算比例：
16 ÷ 24 = 2/3
⑤ 檢查：重疊 16 + 各自獨有 8 + 8 = 32 = 聯集 ✓
「把圖形切成相同的小格子，再數格子」是處理面積比例最強的方法，
因為它把「算面積」變成「數數量」，
不用乘 √3、不用算高，也幾乎不會算錯。
特別稱讚第 (1) 小題：
能一眼看出 60° 是外角並用 360 ÷ 60，
代表你對「走路轉彎 = 外角」這個觀念很清楚——
這正是這類素養題的核心，很多人會誤當成內角。
複習標記
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