等距平行線：等底等高的三角形面積相同
題目
・A、B、C 分別在 L₁、L₂、L₃ 上，且三點都在直線 M₁ 上
・D、E 分別在 L₂、L₃ 上，且兩點都在直線 M₂ 上
則下列哪一個三角形的面積與其他三個三角形不同？
- (A) △ABE ← 我選的
- (B) △BCE
- (C) △BDE ← 正確答案（面積不同）
- (D) △CDE
錯在哪裡
先用平行線的性質建立第一個等式：
L₁、L₂、L₃ 平行且等距，M₁ 是一條截線 → 被截出的線段等長： AB = BC （等距平行線截任何一條直線，所得線段都等長。）
接著看每個三角形的「底」和「高」：
| 三角形 | 取哪一段當底 | 底在哪 | 高（頂點到底的距離） |
|---|---|---|---|
| △ABE | AB | M₁ 上 | E 到 M₁ 的距離 |
| △BCE | BC | M₁ 上 | E 到 M₁ 的距離 |
所以 (A) 和 (B) 一定相等，兩個都不可能是答案！
你選 (A)，但 (A) 和 (B) 是「一組的」—— 題目問「與其他三個不同」， 只要發現有兩個一定相等，這兩個就都可以先刪掉。 這樣一來，答案只剩 (C) 或 (D) 二選一，機率就從 1/4 變成 1/2 了。
正確解法
注意 C 和 E 都在 L₃ 上，所以 CE 是 L₃ 上的一條線段。
| 三角形 | 底（在 L₃ 上） | 頂點 | 高（頂點到 L₃ 的距離） |
|---|---|---|---|
| △BCE | CE | B（在 L₂） | d（L₂ 到 L₃ 的距離） |
| △CDE | CE | D（在 L₂） | d（同上） |
前面已證 △ABE = △BCE，現在又有 △BCE = △CDE： △ABE = △BCE = △CDE 三個相等 → 剩下的 △BDE 就是那個不同的。 答案 (C)。
B 和 D 都在 L₂ 上，所以 BD 是 L₂ 上的線段。 △BDE 的底 = BD（在 L₂ 上） 高 = E 到 L₂ 的距離 = d △BDE 面積 = (1/2) × BD × d 而其他三個都是 (1/2) × CE × d 兩者的高一樣，但底不同：BD ≠ CE（一般情形下） → 面積不同 ✓
用座標嚴格驗證
M₁：y = m₁x + k₁ → A(0, k₁)、B(1, m₁+k₁)、C(2, 2m₁+k₁)
M₂：y = m₂x + k₂ → D(1, m₂+k₂)、E(2, 2m₂+k₂)
令 u = m₁ − m₂、v = k₁ − k₂：
| 三角形 | 底 | 高 | 面積 |
|---|---|---|---|
| △ABE | — | — | (1/2)|2u + v| |
| △BCE | CE（在 x=2） | 1 | (1/2)|2u + v| |
| △CDE | CE（在 x=2） | 1 | (1/2)|2u + v| |
| △BDE | BD（在 x=1） | 1 | (1/2)|u + v| |
要記住的觀念
- 等距平行線截任一直線 → 截出的線段等長。 本題 L₁、L₂、L₃ 等距，所以 M₁ 上有 AB = BC。
- 同底等高的三角形，面積相等（不管形狀多歪）。 面積 = (1/2) × 底 × 高 頂點沿著平行於底的直線移動，面積完全不變。
- 解這類題的標準流程：
① 找出哪些點在同一條平行線上 → 那條線上的線段可以當「底」
② 底相同時，看頂點在哪條線上 → 決定「高」
③ 底和高都一樣的，面積就一樣 - 問「哪一個不同」時，先找出「一定相同的那幾個」。 本題 △ABE = △BCE（等底等高）一眼可見， 兩個都可以立刻刪掉。
- C、E 都在 L₃ 上 → CE 可以當底；B、D 都在 L₂ 上 → BD 可以當底。 「同一條平行線上的兩點」是選底的關鍵。
- 「M₁、M₂ 不平行」這個條件是用來保證 BD ≠ CE， 否則四個三角形可能全部相等，題目就沒有答案了。
「同底等高面積相等」的直覺理解
想像一疊撲克牌，最下面一張固定不動（當底），
把整疊往旁邊推歪——總高度沒變、底也沒變，所以體積（面積）不變。
三角形也一樣：把頂點沿著平行於底邊的方向滑動，
三角形會越變越歪，但面積完全不變，因為底和高都沒動。
類題自我檢測
1. 圖中還有哪些三角形的面積和 △BCE 相等？（試著再找一個）
2. 若把 M₂ 移動成和 M₁ 平行，四個三角形的面積會怎樣？
3. 若 L₁ 到 L₂ 的距離是 3、L₂ 到 L₃ 的距離是 5（不等距），AB 和 BC 還會相等嗎？
看解答
1. △ACE（以 CE 為底、A 到 L₃ 的距離為高 = 2d）
→ 面積是 △BCE 的 2 倍，不相等。
△ADE：以 DE 為底，A 和 B 到 M₂ 的距離不同 → 不一定相等。
其實圖中和 △BCE 相等的就是題目給的那三個，這也是命題的巧妙之處。
2. 若 M₁ ∥ M₂，則 ABDC…會形成平行四邊形，
BD 會等於 CE，於是四個三角形全部相等，題目就無解了。
這就是為什麼題目要特別聲明「M₁、M₂ 不平行」。
3. 不會相等。AB : BC = 3 : 5。
「平行線截線段成比例」的比例，等於平行線間的距離比。
等距只是特例（比例 1:1）。
我的原始作答
作答欄填了 (A) △ABE，紅筆訂正為 (C) △BDE。
選 (A) 的問題在於：△ABE 和 △BCE 是「一定相等」的一對。
因為 L₁、L₂、L₃ 等距，M₁ 被截成 AB = BC；
兩個三角形又共用頂點 E，高相同 →
△ABE = △BCE（等底等高）
既然這兩個必定相等，它們就都不可能是「與眾不同」的那一個。
建議的解題流程（先刪再選）：
① 先找「一定相等」的組合，把它們刪掉
→ AB = BC 且共用 E → (A) 和 (B) 相等 → 兩個都刪
② 剩下 (C)、(D) 二選一，比較它們的底和高
→ (D) △CDE 以 CE 為底（C、E 都在 L₃）
→ (C) △BDE 以 BD 為底（B、D 都在 L₂）
③ 再看 (D) 和 (B) 的關係：都以 CE 為底、頂點 B 和 D 都在 L₂ 上
→ 高相同 → (B) = (D)
④ 所以 (A) = (B) = (D)，答案是 (C) ✓
核心技巧：把每個三角形的「底在哪條線上」寫出來。
這題考的是「同底等高」這個看似簡單卻極重要的性質。 做這類題時，一定要動手把「底」和「高」標出來， 不要憑圖形的胖瘦去判斷面積—— 圖上 △ABE 看起來又細又長，其實和 △BCE 一樣大。
複習標記
看完這一頁順手標一下，紀錄會同步到總覽頁—— 標「有把握」的會被劃掉，標「有疑問」的會被標成琥珀色，可以用「只看有疑問的」單獨叫出來。 再按一次同一顆按鈕就取消。紀錄存在這台裝置的瀏覽器裡。