錯題解析

六邊形求角：用內角和 720° 加上兩組同側內角

數學．第 4 冊．2026/07/27．第 02 題　|　主題：多邊形內角和．平行線同側內角互補

題目

如右圖，P 為六邊形 ABCDEF 內部一點，且 AP ∥ BC、AP ∥ EF。若 ∠FAB = 118°、∠BCD = 115°、∠DEF = 123°，則 ∠D = ？

(A) 118°
(B) 119°
(C) 122°　←　正確答案
(D) 123°　←　我選的

我的答案：(D) 123°直接抄了題目給的角度

正確答案：(C) 122°720° − 118° − 115° − 123° − 242° = 122°

錯在哪裡

關鍵沒用上：AP 這條輔助線的作用，是把 ∠B 和 ∠F 一起算出來。

題目給了三個角（118°、115°、123°），要求 ∠D。六邊形有六個角，還缺 ∠B 和 ∠F 兩個。
但我們不需要分別知道它們，只要知道「兩個加起來是多少」就夠了。

AP ∥ BC → AB 是截線 → ∠PAB 和 ∠ABC 是同側內角，互補： ∠ABC = 180° − ∠PAB AP ∥ EF → AF 是截線 → ∠PAF 和 ∠AFE 互補： ∠AFE = 180° − ∠PAF 兩式相加，∠PAB + ∠PAF 剛好就是 ∠FAB = 118°： ∠B + ∠F = 360° − (∠PAB + ∠PAF) = 360° − 118° = 242° 一次就把兩個未知角處理掉了！

選 (D) 123° 是直接把題目給的 ∠DEF 抄過來—— ∠DEF 是 ∠E，不是 ∠D，兩者是不同的角。 題目給的角度不會就是答案，看到選項和題目數字一樣時要特別警覺。

正確解法

Step 1　寫出六邊形的內角和
n 邊形內角和 = (n − 2) × 180° 六邊形 = (6 − 2) × 180° = 720° ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F = 720°

Step 2　用平行線把 ∠B + ∠F 求出來
AP ∥ BC，AB 為截線：∠PAB 與 ∠ABC 為同側內角 ∠PAB + ∠ABC = 180°　→　∠B = 180° − ∠PAB AP ∥ EF，AF 為截線：∠PAF 與 ∠AFE 為同側內角 ∠PAF + ∠AFE = 180°　→　∠F = 180° − ∠PAF 兩式相加： ∠B + ∠F = 360° − (∠PAB + ∠PAF) 而 ∠PAB + ∠PAF = ∠FAB = 118°（P 在六邊形內部，AP 把 ∠FAB 分成兩半）： ∠B + ∠F = 360° − 118° = 242°

Step 3　代回內角和求 ∠D
∠A + (∠B + ∠F) + ∠C + ∠E + ∠D = 720° 118° + 242° + 115° + 123° + ∠D = 720° 598° + ∠D = 720° ∠D = 122° 答案 (C) 122°。

把所有角度整理成一張表

角	度數	怎麼來的
∠A（= ∠FAB）	118°	題目給
∠C（= ∠BCD）	115°	題目給
∠E（= ∠DEF）	123°	題目給
∠B + ∠F	242°	360° − ∠A（兩組同側內角）
∠D	122°	720° − 118° − 242° − 115° − 123°

驗算：118 + 242 + 115 + 123 + 122 = 720 ✓ 六個角加起來剛好是內角和，答案正確。

換個角度看：一個更好記的公式

整理一下算式： ∠D = 720° − ∠A − ∠C − ∠E − (360° − ∠A) = 720° − 360° − ∠C − ∠E = 360° − ∠C − ∠E ∠A 竟然消掉了！ ∠D = 360° − 115° − 123° = 122° ✓ 結論：在這種「AP 同時平行兩條邊」的六邊形裡， ∠C + ∠D + ∠E = 360° ∠FAB 給多少都不影響答案！ 這也是一個很好的檢查方式——如果你的答案會隨 118° 改變，那就算錯了。

要記住的觀念

n 邊形內角和 = (n − 2) × 180°。 四邊形 360°、五邊形 540°、六邊形 720°、八邊形 1080°。
兩平行線被截，同側內角互補（和為 180°）。 AP ∥ BC，AB 為截線 → ∠PAB + ∠ABC = 180°
不必求出每一個角，「求出兩角之和」往往就夠了。 本題不知道 ∠B 和 ∠F 各是多少，但知道和是 242°，就能解出答案。
輔助線（AP）的作用是「把散落的角連起來」。 題目特地說 P 在內部且 AP 平行兩條邊，就是要你用兩次同側內角。
∠PAB + ∠PAF = ∠FAB： 一條線從角的頂點射進角的內部，會把這個角分成兩個小角。 這一步很容易被忽略，卻是連結兩組平行關係的橋樑。
算完一定要把六個角加起來檢查等於 720°。 10 秒的驗算，能百分之百確認答案。

平行線的三組角，別再混淆

名稱	位置	關係
同位角	截線同側、兩平行線的同一邊	相等
內錯角	截線兩側、兩平行線之間	相等
同側內角	截線同側、兩平行線之間	互補（和 180°）

記法：只有「同側內角」是互補，其他兩組都是相等。

怎麼判斷本題是哪一組？
AP ∥ BC，截線是 AB。∠PAB 在 A 點、∠ABC 在 B 點， 兩個角都在 AB 的同一側（右側），且都夾在兩條平行線之間 → 同側內角 → 互補 ✓

不確定時就畫個「Z 字」或「C 字」：
・Z 字形（內錯角）→ 相等
・C 字形（同側內角）→ 互補
本題 A-B 這段是 C 字形，所以互補。

類題自我檢測

1. 若 ∠FAB = 130°、∠BCD = 110°、∠DEF = 120°，求 ∠D。
2. 若 ∠PAB = 70°，求 ∠ABC。
3. 一個八邊形的內角和是多少？若其中七個角的和是 900°，第八個角是多少？

看解答

1. 用簡化公式： ∠D = 360° − ∠C − ∠E = 360° − 110° − 120° = 130° （注意 ∠FAB 改成 130° 完全不影響答案 ✓ 印證了前面的結論。）

2. AP ∥ BC，同側內角互補： ∠ABC = 180° − 70° = 110°

3. 八邊形內角和 = (8 − 2) × 180° = 1080° 第八個角 = 1080° − 900° = 180° 但內角 180° 代表這個「頂點」其實是一條直線上的點，這樣它就不是真正的八邊形了 → 此情況不存在。

我的原始作答

作答欄填了 (D) 123°，紅筆訂正為 (C) 122°。
草稿上有 118、123、115 的加總嘗試（118 + 123 = 238 之類）， 代表你有想到要用內角和，方向是對的，只是沒有處理 ∠B 和 ∠F 這兩個未知角，所以湊不出答案。

而 123° 剛好就是題目給的 ∠DEF —— 這是「算不出來就抄一個題目數字」的典型情況。 要注意 ∠DEF 是 ∠E，∠D 是另一個角，兩者不同。

這題的關鍵一步，是看懂 AP 這條線的用途：

   AP ∥ BC  →  ∠PAB + ∠B = 180°
   AP ∥ EF  →  ∠PAF + ∠F = 180°
   ────────────────────────────── 相加
   (∠PAB + ∠PAF) + ∠B + ∠F = 360°
        ↑
      = ∠FAB = 118°
   ⟹  ∠B + ∠F = 360° − 118° = 242°
      

「兩個未知角的和」求出來之後，內角和 720° 就能直接解出 ∠D。

給你的具體建議：看到題目給「某條線平行某兩條邊」，就把兩組同側內角的式子並排寫出來再相加。 這種「相加後未知數消掉」的手法，在多邊形求角的題目裡出現的頻率非常高。

最後，算完務必把六個角加起來檢查： 118 + 242 + 115 + 123 + 122 = 720 ✓ 這個驗算可以完全確認答案，而且只要十秒鐘。

複習標記

看完這一頁順手標一下，紀錄會同步到總覽頁—— 標「有把握」的會被劃掉，標「有疑問」的會被標成琥珀色，可以用「只看有疑問的」單獨叫出來。再按一次同一顆按鈕就取消。紀錄存在這台裝置的瀏覽器裡。

還沒標記